离散数学 | 图论 | 欧拉图 | 哈密顿图 | 割点 | 桥（欧拉图和哈密顿图有没有割点和桥？）

本文主要解决以下几个问题：

1.欧拉图能不能有割点，能不能有桥？

2.哈密顿图能不能有割点，能不能有桥？

首先我们要明白几个定义

割点的定义就是在一个图G中，它本来是连通的，去掉一个点v以后这个图G就不连通了，那么点v就被叫做割点。

桥的定义就是在一个图G中，它本来也是连通的，去掉一条边x以后这个图就不连通了，那么边x就被称为桥。

欧拉图是拥有欧拉闭迹的图。

所谓欧拉闭迹，包含两层概念：“闭”和“迹”。

我们先来说什么是迹，所谓“迹”，就是用一笔可以从一个顶点出发，一直沿着边走，走到另一个顶点停止。在走的过程中，可以有重复的点，但是不能有重复的边。也就是说一个点可以经过两次以上，但是一个边只能走一次。

 如图：从1走到5，最后再回到1，这就是一条迹。

我们再来说什么是“闭”，所谓闭，就是闭合的意思，也就是说这条迹最后要回到起点，形成一条闭合回路。上图所示的迹也是一条闭迹。

我们可以看到上面画的这个图拥有一套欧拉闭迹，那么他就是一个欧拉图。

如果这个图去掉点3，他就变成不连通的了，那么点3就是一个割点，显然欧拉图是可以有割点的，有割点的图也可以是欧拉图。

那么欧拉图能不能有桥呢？

我们先来试着想一想，欧拉图必须要从一个点出发走回去，边不能重复。那么如果有桥的话，对于两个划分以后的子图，我们为了从一个顶点出发，最后再回到这个顶点，不得不从这个桥走两遍，这显然违背了欧拉图的定义。

 如果需要严谨证明的话，我们可以先由欧拉图得到，在图上任意去掉一条边x，图依然是连通的。如果去掉桥的话，恰恰与欧拉图的定义相违背，自然就证明了欧拉图中不能有桥了。

说完了欧拉图，我们来看哈密顿图。

哈密顿图是具有哈密顿圈的图，哈密顿圈是对于图G而言，它有一个圈，这个圈包含了图G的所有顶点。

换言之，如果一个图G，它具有一个能包含所有顶点的圈，那么它具有哈密顿圈，图G也就是哈密顿图了。

显然哈密顿图是有圈的图，有圈的图不论去掉哪个顶点依然是连通的，所以哈密顿图没有割点。有圈的图不论去掉哪条边也依然是连通的，所以哈密顿图也没有桥

换言之，有割点的图一定不是哈密顿图，有桥的图一定不是哈密顿图。

完毕！