【1250. 检查「好数组」】

来源：力扣（LeetCode）

描述：

给你一个正整数数组 nums，你需要从中任选一些子集，然后将子集中每一个数乘以一个 任意整数，并求出他们的和。

假如该和结果为 1，那么原数组就是一个「好数组」，则返回 True；否则请返回 False。

示例 1：

输入：nums = [12,5,7,23]
输出：true
解释：挑选数字 5 和 7。
5*3 + 7*(-2) = 1

示例 2：

输入：nums = [29,6,10]
输出：true
解释：挑选数字 29, 6 和 10。
29*1 + 6*(-3) + 10*(-1) = 1

示例 3：

输入：nums = [3,6]
输出：false

提示：

• 1 <= nums.length <= 10⁵
• 1 <= nums[i] <= 10⁹

前言

方法：数论

思路与算法

  本题解涉及到数论中的「裴蜀定理」,题目给出一个正整数数组 nums，现在我们需要从中任选一些子集，然后将子集中的每一个数都乘以一个任意整数并求出他们的和，如果该和的结果为 1，那么原数组就是一个「好数组」。现在我们需要判断数组 nums 是否是一个「好数组」。由「裴蜀定理」可得，题目等价于求 nums 中的全部数字的最大公约数是否等于 1，若等于 1 则原数组为「好数组」，否则不是。

  求 nums 中全部数字的最大公约数的方法为，我们设初始为 x = nums[0]，然后对于每一个数 nums[i]，0 < i < n，我们更新 x = gcd(x, nums[i])。遍历完全部数字后，x 即为数组 nums 中全部的元素的最大公约数。然后判断其是否等于 1 即可。在实现过程中我们也可以进一步做优化：如果遍历过程中出现最大公约数等于 1 的情况，则由于 1 和任何正整数的最大公约数都是 1，此时可以提前结束遍历。

代码：

class Solution {
public:bool isGoodArray(vector<int>& nums) {int divisor = nums[0];for (int num : nums) {divisor = gcd(divisor, num);if (divisor == 1) {break;}}return divisor == 1;}
};

执行用时：40 ms, 在所有 C++ 提交中击败了70.90%的用户
内存消耗：28.4 MB, 在所有 C++ 提交中击败了82.09%的用户
复杂度分析
时间复杂度：O(n+logm)，其中 n 为数组 nums 的长度，m 为数组 nums 中的最大数，其中求单次最大公约数的时间复杂度为 O(logm)，由于在每次求两个数的最大公约数时其中一个数保持单调不增，所以求总的公约数的时间复杂度为 O(logm)。
空间复杂度：O(1)。仅使用常量空间。
author：LeetCode-Solution