Normalization(BN and LN) in NN

Batch Normalization

称为批标准化。批是指一批数据，通常为 mini-batch；标准化是处理后的数据服从 $N(0,1)$ 的正态分布。在训练过程中，数据需要经过多层的网络，如果数据在前向传播的过程中，尺度发生了变化，可能会导致梯度爆炸或者梯度消失，从而导致模型难以收敛。

假设输入的 mini-batch 数据是 $B=x_1...x_m$，Batch Normalization 的可学习参数是 $\gamma ,\beta$，步骤如下：

• 求 mini-batch 的均值：${\mu }_B\leftarrow \frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{x}_i$
• 求 mini-batch 的方差：${\sigma }_B^2\leftarrow \frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(x_i-{\mu }_B)$
• 标准化：$\widehat{x_i}\leftarrow \frac{x_i-{\mu }_B}{\sqrt{{\sigma }_B^2+ϵ}}$，其中 $ϵ$ 是防止分母为 0 的一个数。
• affine transform(缩放和平移)：$y_i\leftarrow \gamma \widehat{x_i}+\beta \equiv B{N}_{r,\beta }(x_i)$，这个操作可以增强模型的 capacity，也就是让模型自己判断是否要对数据进行标准化，进行多大程度的标准化。如果
  $\gamma =\sqrt{{\sigma }_B^2},\beta ={\mu }_B$，那么就实现了恒等映射（前三步做标准化，这步做标准化的反变换）。

Batch Normalization 层一般在激活函数前一层。

在 PyTorch 中，有 3 个 Batch Normalization 类：

• nn.BatchNorm1d()，输入数据的形状是 $B\times C\times 1Dfeature(L)$ ：length
• nn.BatchNorm2d()，输入数据的形状是 $B\times C\times 2Dfeature(H\times W)$ ：hight, weight
• nn.BatchNorm3d()，输入数据的形状是 $B\times C\times 3Dfeature(T\times H\times W)$ ：time, hight, weight

torch.nn.BatchNorm1d(num_features, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True)

num_features：一个样本的特征维度C，这个参数最重要
eps：在进行标准化操作时的分布修正项
momentum：指数加权平均估计当前的均值和方差
affine：是否需要 affine transform，默认为 True
track_running_stats：True 为训练状态，此时均值和方差会根据每个 mini-batch 改变。False 为测试状态，此时均值和方差会固定

例如，输入数据的形状是 $B\times C\times 2Dfeature$，(3, 2, 2, 2, 3)，表示一个 mini-batch 有 3 个样本，每个样本有 2 个特征，每个特征的维度是 2 x 2 x3。那么就会计算 2 个均值和方差，分别对应每个特征维度。momentum 设置为 0.3，第一次的均值和方差默认为 0 和 1。输入两次 mini-batch 的数据。

Layer Normalization

提出的原因：Batch Normalization 不适用于变长的网络，如 RNN

思路：每个网络层计算均值和方差，$\gamma$和$\beta$ 为逐样本的可学习参数。

torch.nn.LayerNorm(normalized_shape, eps=1e-05, elementwise_affine=True)

normalized_shape：该层每个样本特征的形状，可以取 $C\times H\times W$、$H\times W$、$W$
eps：标准化时的分母修正项
elementwise_affine：是否需要逐个样本 affine transform

例如，输入数据的形状是 $B\times C\times feature$，(8, 2, 3, 4)，表示一个 mini-batch 有 8 个样本，每个样本有 2 个特征，每个特征的维度是 3 x 4。那么就会计算 8 个均值和方差，分别对应每个样本。