数论问题75

命题，证明:存在K∈N，使得对于每个n∈N，Kx2^n+1都是合数。

 

 

 

证明:设n=2^m，当m=0，1，2，3，4时，a(m)=2^(2^m)+1都是素数。

 

a(0)=2+1=3，a(1)=2^2+1=5，a(2)=2^4+1=17，a(3)=2^8+1=258，a(4)=2^16+1=65537。

 

a(5)=2^(2^5)+1=2^32+1

 

=(2^16)^2-1+2

 

=(2^16+1)(2^8+)(2^4+)(2^2+1)(2+1)(2-1)+2

 

=a(0)a(1)a(2)a(3)a(4)+2

 

=4294967297

 

=6700417X641。于是，

 

a(5)是合数，且与每个a(0)，a(1)，a(2)，a(3)，a(4)互素。

 

而a(6)=a(0)a(1)a(2)a(3)a(4)a5)+2，所以

 

a(0)，a(1)，a(2)，a(3)，a(4)，a(5)，a(6)，互素。那么，由中国剩余定理，总存在K∈Z，使被a(m)(0≤m≤5)除余1，且被a(6)除余-1。

 

若令n=2^mp(0≤m≤4)，p为奇数，则有

 

K2^n+1被a(m)除余2^n+1。

 

2^n+1=2^(2^mp)+1=[a(m)-1]^p+1，

 

被a(m)除余(-1)^p+1，因为p为奇数，所以，a(m)整除K2^n+1。即

 

K2^n+1为合数。 (李扩继)