OFDM系统仿真

1️⃣ OFDM的原理

1.1 介绍

OFDM是一种多载波调制技术，将输入数据分配到多个子载波上，每个子载波上可以独立使用 QAM、PSK 等传统调制技术进行调制。这些子载波之间互相正交，从而可以有效利用频谱并减少干扰。

1.2 OFDM的核心

1. 多载波调制
   高速数据流被拆分成多个并行的低速数据流，每个低速数据流被分配到正交的子载波上
2. 子载波正交性
   子载波的正交性是OFDM的核心，正交性保证了不同子载波之间不会相互干扰
3. 使用FFT/IFFT的实现
   OFDM使用IFFT生成正交的子载波信号，而在接收端通过FFT恢复频域信号

1.3 OFDM系统架构

以MQAM调制为例，假设OFDM系统的输入信号是串行的二进制码元，每个二进制码元的持续时间为$T_{\mathrm{b}}$。

分帧：首先，将输入信号分帧，每一帧包含F个二进制码元，即包含F比特。

分组：然后针对每一帧来说，每帧都会再进一步分组，即把F个二进制码元分成N组，每组中的比特数可以不同。例如，第$i$组包含的比特数是$b_i$。

码元转换：将每组中的$b_i$个比特看作一个$M_i$进制的码元$B_i$，$b_i$与$M_i$的关系是$b_i=lo{g}_2{M}_i$

串并转换：此步骤将串行的N个码元$B_i$变成N路并行码元$B_i$。并行码元的持续时间相同，都是$T_B=F\cdot T_b$

映射：在MQAM调制中，一个并行码元$B_i$可以用平面上的一个点表示，将$M_i$进制的码元$B_i$变成一一对应的复数${\mathbf{B}}_{\mathbf{i}}$的过程称为映射过程。例如$B_i$包含4bit “1100”，那就是16进制码元，进行的是16QAM调制，假设星座图如下图所示，则其相位为45°，振幅为$A/\sqrt{2}$。此映射过程将“1100”映射为复数形式${\mathbf{B}}_{\mathbf{i}}=(A/\sqrt{2})e^{j\pi /4}$

调制：N路并行码元$B_i$对N个子载波进行不同的MQAM调制。由于各个并行码元$B_i$包含比特数不同，所以调制方式不同，举个例子，若并行码元$B_i$包含4bit，那就是16QAM调制；包含8bit就是64QAM调制

IDFT：使用IDFT实现正交频分复用

• 最低子载波频率设定：为了用IDFT实现OFDM，先将OFDM的最低子载波频率设定为0。这是为了满足IDFT公式：$$s(k)=\frac{1}{\sqrt{K}}\sum _{n=0}^{K-1}\mathbf{S}(n){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(2\pi /K)nk},k=0,1,2,\cdots ,K-1$$在n=0时，其右端第一项的指数因子等于1的条件，方便后续数学运算和信号处理。

• IDFT项数设定与等效复码元序列生成：假设IDFT的项数为K，设置K=2N，即IDFT的项数等于子信道数目N的2倍。根据下述共轭对称性条件：

  若信号的时域函数 $s(k)$ 是实函数，则其 $K$ 点 DFT 的值 $\mathbf{S}(n)$ 一定满足对称性条件：$$\mathbf{S}(K-k)={\mathbf{S}}^{\ast }(k)k=0,1,2,\cdots ,K-1$$式中： ${\mathbf{S}}^{\ast }(k)$ 为 $\mathbf{S}(k)$ 的复共轭。

  从N个并行复数码元序列 { B i } \left\{\boldsymbol{B_i}\right\} {Bi​}（ $i=0,1,\cdots ,N-1)$ 生成 $K=2N$ 【将 IDFT 项数设为2N】个等效复数码元序列 $\left\{{{\mathbf{B}}_{\mathbf{n}}}^{\prime }\right\}($ $n=0,1,\cdots ,2N-1)$，具体规则如下：
  ① 当 $n=1,2,\cdots ,N-1$ 时，${\mathbf{B}}_{K-n-1}^{\prime }={\mathbf{B}}_n^{\ast }(B_n^{\ast }$ 为 $B_n$ 的共轭复数）。
  ② 当 $n=N,N+1,\cdots ,2N-2$ 时，${\mathbf{B}}_{K-n-1}^{\prime }={\mathbf{B}}_{K-n-1}$ 。
  ③ ${\mathbf{B}}_0^{\prime }=\mathrm{Re}\left(B_0\right)$ ，即取 ${\mathbf{B}}_0$ 的实部。
  ④ ${\mathbf{B}}_{K-1}^{\prime }={\mathbf{B}}_{2N-1}^{\prime }=\mathrm{Im}\left({\mathbf{B}}_0\right)$ ，即取 ${\mathbf{B}}_0$ 的虚部。

  补充：为什么一定要K=2N？
  OFDM 系统最终需要生成实值的时域信号进行传输（实信号在实际硬件中更易处理和传输）。IDFT 具有这样的特性：当频域序列满足一定的共轭对称性质时，经过 IDFT 变换后得到的时域序列是实值的。通过将 IDFT 项数设为 $2N$ ，可以利用这一性质，通过对 $N$ 个并行复数码元序列构建出具有共轭对称性质的 $2N$ 个等效复数码元序列（如前面提到的通过特定的对称规则生成），从而确保经过 IDFT 后得到实值的时域信号。

• OFDM信号的离散形式：将生成的新码元序列 $\left\{{\mathbf{B}}_n^{\prime }\right\}$ 作为频域信号代入IDFT公式，得到时域离散信号：
  $$e(k)=\frac{1}{\sqrt{K}}\sum _{n=0}^{K-1}{\mathbf{B}}_n^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(2\pi /K)nk}(k=0,1,\cdots ,K-1)$$
  这里的 $e(k)$ 是离散的，且 $e(k)=e\left(k{T}_{\mathrm{B}}/K\right)$，即在离散的时间点 $k{T}_{\mathrm{B}}/K$ 上对连续的 OFDM 信号 $e(t)$ 进行抽样得到了 $e(k)$

循环前缀：对每个 OFDM 符号添加循环前缀，以对抗多径效应等引起的干扰，它是在时域上操作的【OFDM信号长啥样？？？ 例如，50个OFDM符号，每个符号64个子载波，那矩阵大小就是64×50，加8个循环前缀的话，就会变成72×50】

并串转换：此时的信号 $e(k)$ 在时域上还是以并行的形式存在，为了后续能够进行 D／A 转换以及在实际信道中传输【因为D/A 转换器通常接收串行的信号】，需要将这些并行的离散信号进行并串转换，将其变为串行的离散信号序列

通过D/A转换得到连续形式：离散抽样信号$e(k)$经过数模（D/A）转换后就得到OFDM 信号的连续时间表达式：
$$e(t)=\frac{1}{\sqrt{K}}\sum _{n=0}^{K-1}{\mathbf{B}}_n^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\left(2\pi /T_{\mathrm{B}}\right)nt}\left(0⩽t⩽T_{\mathrm{B}}\right)$$
它是从离散抽样信号 $e(k)$ 推导而来的，体现了 OFDM 信号在整个时间区间 $\left[0,T_{\mathrm{B}}\right]$ 上的连续变化情况。在这个表达式中，每一项 ${\mathbf{B}}_n^{\prime }{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\left(2\pi /T_{\mathrm{B}}\right)nt}$ 都代表一个子载波信号，不同的 $n$ 对应不同的子载波，通过对这些子载波信号进行叠加，就得到了完整的 OFDM 信号 $e(t)$

• 子载波频率：子载波频率 $f_k=n/T_{\mathrm{B}}(n=0,1,\cdots ,N-1)$ 。在 OFDM 系统中，子载波是承载信息的关键元素。这个公式表明子载波频率是等间隔分布的，间隔为 $1/T_{\mathrm{B}}$【$T_{\mathrm{B}}$是并行码元的持续时间】 。从物理意义上讲，不同的子载波频率使得各个子载波能够在频域上相互正交，从而在相同的时间和带宽资源下，实现多个子载波同时传输不同信息，提高了频谱利用率。

上变频：由于实际通信中信号需要在特定高频频段传输，后续会用上变频将OFDM信号频谱搬移到指定高频为止