10.【线性代数】—— 四个基本子空间

讨论矩阵$A_{m\ast n}$的四个基本空间，m行 n列

1. 列空间 $C(A)$ in $R^m$

$$\underset{A}{\underbrace{\left[\begin{array}{cccc}co{l}_{11}& co{l}_{21}& ...& co{l}_{n1}\\ co{l}_{12}& co{l}_{22}& ...& co{l}_{n2}\\ ...& ...& ...& ...\\ co{l}_{1m}& co{l}_{23}& ...& co{l}_{nm}\end{array}\right]}}\underset{x}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ ...\\ c\end{array}\right]}}=a\ast co{l}_1+b\ast co{l}_2+...+c\ast co{l}_n$$
其中$co{l}_1=\left[\begin{array}{c}co{l}_{11}\\ co{l}_{12}\\ ...\\ co{l}_{1m}\end{array}\right]$，表示矩阵$A_{m\ast n}$的第一列。因为一行有m个元素，所以在$R^m$空间中
将矩阵的每一列，看成一个向量，他们的所有线性组合（数乘和加法）在一个子空间中，这个子空间，记为 C(A)，即A的列空间。
维度为矩阵的秩，记$r$

2. 零空间 $N(A)$ in $R^n$

矩阵A的零空间 ：满足 Ax =0 的所有向量。
由之前的知识，矩阵$A$,可以化简为$\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$，得出零空间为$N(A)=N(R)=\left[\begin{array}{c}-F\\ I\end{array}\right]$。

$由于A一行有n个元素，所以N(A)一列有n个元素，所以N(A)在R^n空间$
维度=自由列的个数=$n-r$

3. 行空间 $C(A^T)$ in $R^n$

矩阵$A$的行空间 = 矩阵$A^T$的列空间

之前进行矩阵消元时，矩阵$A$化简得到矩阵$R=\left[\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right]$。
$矩阵R的列空间C(R)\ne C(A)$,但两者的行空间相同。
维度为$r$。

4. 左零空间 $N(A^T)$ in $R^m$

由于
$$A^{T}y=0\stackrel{两遍求转置}{\Rightarrow }{y}^T{A^T}^T=0\Rightarrow \underset{\text{左乘}}{\underbrace{y^{T}A}}=0$$
所以$N(A^T)$称矩阵A的左零空间。
维度为$m-r$。

综述

空间	$C(A)$	$C(A^T)$	$N(A)$	$N(A^T)$
基	主列	-	特殊解	-
维度	$r$	$r$	$n-r$	$m-r$
性质	行空间与列空间维度相同，行秩=列秩

5. 新的向量空间

所有3x3的矩阵($M$)
$M$的子空间： 所有上三角矩阵|| 对称矩阵|| 对角矩阵

子空间：满足其矩阵的线性组合(数乘、加减)都在其空间内