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PTA 7-8 哈利·波特的考试

article 2026/3/22 1:05:03

题目描述

哈利·波特要考试了，他需要你的帮助。这门课学的是用魔咒将一种动物变成另一种动物的本事。例如将猫变成老鼠的魔咒是 haha，将老鼠变成鱼的魔咒是 hehe 等等。反方向变化的魔咒就是简单地将原来的魔咒倒过来念，例如 ahah 可以将老鼠变成猫。另外，如果想把猫变成鱼，可以通过念一个直接魔咒 lalala，也可以将猫变老鼠、老鼠变鱼的魔咒连起来念：hahahehe。

现在哈利·波特的手里有一本教材，里面列出了所有的变形魔咒和能变的动物。老师允许他自己带一只动物去考场，要考察他把这只动物变成任意一只指定动物的本事。于是他来问你：带什么动物去可以让最难变的那种动物（即该动物变为哈利·波特自己带去的动物所需要的魔咒最长）需要的魔咒最短？例如：如果只有猫、鼠、鱼，则显然哈利·波特应该带鼠去，因为鼠变成另外两种动物都只需要念 4 个字符；而如果带猫去，则至少需要念 6 个字符才能把猫变成鱼；同理，带鱼去也不是最好的选择。

输入格式:

输入说明：输入第 1 行给出两个正整数 n (≤100)和 m，其中 n 是考试涉及的动物总数，m 是用于直接变形的魔咒条数。为简单起见，我们将动物按 1~$$n编号。随后m行，每行给出了3个正整数，分别是两种动物的编号、以及它们之间变形需要的魔咒的长度(\le 100$$)，数字之间用空格分隔。

输出格式:

输出哈利·波特应该带去考场的动物的编号、以及最长的变形魔咒的长度，中间以空格分隔。如果只带1只动物是不可能完成所有变形要求的，则输出 0。如果有若干只动物都可以备选，则输出编号最小的那只。

输入样例:

输出样例:

4 70

题目分析

方法思路

问题分析：
- 将每个动物视为图的节点，魔咒视为无向边，边的权重为魔咒长度。
- 需要找到每个节点到其他所有节点的最短路径中的最大值，并选择这些最大值中最小的那个对应的节点。
算法选择：
- 使用 Floyd-Warshall 算法计算所有节点之间的最短路径，因为它适用于处理稠密图，且能高效计算多源最短路径。
步骤分解：
- 构建邻接矩阵并初始化。
- 使用 Floyd-Warshall 算法计算所有节点之间的最短路径。
- 检查每个节点是否可达所有其他节点，并计算每个节点的最长最短路径。
- 选择具有最小最长路径的节点，若有多个则选编号最小的。

示例代码

def main():import sysinput = sys.stdin.read().split()idx = 0n = int(input[idx])idx += 1m = int(input[idx])idx += 1INF = float('inf')d = [[INF] * n for _ in range(n)]for i in range(n):d[i][i] = 0for _ in range(m):u = int(input[idx]) - 1idx += 1v = int(input[idx]) - 1idx += 1w = int(input[idx])idx += 1if d[u][v] > w:d[u][v] = wif d[v][u] > w:d[v][u] = w# Floyd-Warshall算法for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):if d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]:d[i][j] = d[i][k] + d[k][j]candidates = []for i in range(n):max_dist = 0valid = Truefor j in range(n):if d[j][i] == INF:valid = Falsebreakif d[j][i] > max_dist:max_dist = d[j][i]if valid:candidates.append((i + 1, max_dist))  # 动物编号是i+1if not candidates:print(0)else:# 按照max_dist升序，动物编号升序排列candidates.sort(key=lambda x: (x[1], x[0]))print(candidates[0][0], candidates[0][1])if __name__ == "__main__":main()

代码解释

输入处理：
- 读取输入的动物数 n 和魔咒数 m。
- 初始化邻接矩阵 d，其中 d[i][j] 表示动物 i+1 到动物 j+1 的最短路径长度。
邻接矩阵构建：
- 处理每条魔咒输入，更新邻接矩阵中的对应边权重，确保取最小值。
Floyd-Warshall 算法：
- 动态规划计算所有节点之间的最短路径。
候选节点筛选：
- 检查每个节点是否可达所有其他节点。
- 计算每个节点的最长最短路径，并筛选出符合要求的候选节点。
结果输出：
- 根据最长路径长度和动物编号排序候选节点，输出最优解。

自我实现代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>#define maxInt 2147483647typedef struct {int arcs[102][102];int vexnum, arcnum;
} MGraph;int final[102];//final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 
int D[102];  //记录v0到vi的当前最短路径长度
int P[102]; //记录v0到vi的当前最短路径vi的前驱int i, u, j, m, v, min, w, k, a, b, c, min1 = 999999, max = -991111, p = 0;void Dijkstra(MGraph G, int v0) {for (v = 0; v < G.vexnum; v++)    //初始化数据{final[v] = 0;            //全部顶点初始化为未知最短路径状态D[v] = G.arcs[v0][v];// 将与v0点有连线的顶点加上权值P[v] = -1;                //初始化路径数组P为-1}D[v0] = 0;  //v0至v0路径为0final[v0] = 1;    // v0至v0不需要求路径// 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径for (v = 1; v < G.vexnum; v++) {min = maxInt;    // 当前所知离v0顶点的最近距离for (w = 0; w < G.vexnum; w++) // 寻找离v0最近的顶点{if (!final[w] && D[w] < min) {k = w;min = D[w];    // w顶点离v0顶点更近}}final[k] = 1;    // 将目前找到的最近的顶点置为1for (w = 0; w < G.vexnum; w++) // 修正当前最短路径及距离{// 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话if (!final[w] && (min + G.arcs[k][w] < D[w])) { // 说明找到了更短的路径，修改D[w]和P[w]D[w] = min + G.arcs[k][w];  // 修改当前路径长度P[w] = k;}}}
}int main() {MGraph G;memset(final, 0, sizeof(final));memset(D, 0x3f3f3f3f, sizeof(D));memset(G.arcs, 0x3f3f3f3f, sizeof(G.arcs));   //邻接矩阵一定要初始化scanf("%d %d", &G.vexnum, &m);for (i = 0; i < m; i++) {scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);G.arcs[a - 1][b - 1] = c;G.arcs[b - 1][a - 1] = c;}for (u = 0; u < G.vexnum; u++) {max = -9999999;Dijkstra(G, u);for (j = 0; j < G.vexnum; j++) {if (D[j] > max)max = D[j];}if (max < min1) {min1 = max;p = u + 1;}}if (p == 0)printf("0");elseprintf("%d %d\n", p, min1);return 0;
}