人工智能之数学基础：正交矩阵

本文重点

正交矩阵是线性代数中一个重要的特殊矩阵，它在许多领域都有广泛的应用。

什么是正交矩阵

如图所示，当矩阵A满足如上所示的条件的时候，此时我们就可以认为是正交矩阵，需要注意一点矩阵A必为方阵。

正交矩阵的充要条件

设Q为n阶实矩阵, 则Q为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是单位正交向量组，若一个向量组中的向量两两正交,则称之为正交向量组，若此时的向量全部都是单位向量，那么就是单位正交向量组。

正交性在数学上表现为任意两个列向量（或行向量）的内积为0，即它们之间垂直。同时，每个列向量（或行向量）的模长为1，即它们是单位向量。

正交矩阵的性质

1.如果矩阵Q是正交矩阵，那么矩阵Q的行列式为1或者-1。

2.如果矩阵Q是正交矩阵，那么矩阵Q可逆，而且Q逆=Q的转置。

3.如果矩阵P和矩阵Q都是正交矩阵，那么它们的乘积PQ也是正交矩阵。

4.如果Q是正交矩阵，那么Q的行向量或者列向量都是单位向量且两两正交。

5.如果Q是正交矩阵，那么它的逆矩阵依然是正交矩阵。

6.如果Q是正交矩阵，那么它的转置矩阵依然是正交矩阵。

正交变换

A是正交阵，x为向量，则Ax称为正交变换。尤其需要知道的是正交变换不改变向量的长度，这是一个非常重要的性质。