【统计至简】【古典概率模型】联合概率、边缘概率、条件概率、全概率

  一副标准扑克牌有 54 张，包括 52 张常规牌（13 个点数，每个点数有 4 种花色）和 2 张王（大、小王）。我们从中随机抽取一张牌，定义以下事件：

• 事件 A：抽到的牌是红桃
• 事件 B：抽到的牌是 K

联合概率

  联合概率联合概率是指两个事件同时发生的概率，即抽到的牌既是红桃又是 K 的概率。在扑克牌中，既是红桃又是 K 的牌只有 1 张，即红桃 K。所以事件 A 和事件 B 的联合概率$P(A\cap B)$为：
$$P(A\cap B)=\frac{1}{54}$$

边缘概率

  边缘概率是只考虑一个事件发生的概率，而不考虑另一个事件的情况。

• 对于事件 A（抽到红桃），扑克牌中红桃有 13 张，所以事件 A 的边缘概率$P(A)$为：
  $$P(A)=\frac{13}{54}$$
• 对于事件 B（抽到 K），扑克牌中 K 有 4 张，所以事件 B 的边缘概率$P(B)$为：
  $$P(B)=\frac{4}{54}=\frac{2}{27}$$

条件概率

  条件概率是在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

• 在事件 B（抽到 K）已经发生的条件下，求事件 A（抽到红桃）的概率，即$P(A|B)$。因为已知抽到的是 K，而 4 张 K 中只有 1 张是红桃 K，所以：
  $$P(A|B)=\frac{1}{4}$$
• 在事件 A（抽到红桃）已经发生的条件下，求事件 B（抽到 K）的概率，即$P(B|A)$。因为已知抽到的是红桃，而 13 张红桃中只有 1 张是 K，所以：
  $$P(B|A)=\frac{1}{13}$$

  根据前面提到的条件概率公式$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$，我们可以验证一下：已知$P(A\cap B)=\frac{1}{54}$，$P(B)=\frac{4}{54}$，则$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{54}}{\frac{4}{54}}=\frac{1}{4}$符合我们前面计算的结果。

全概率

  假设一副扑克牌，去掉大小王共 52 张牌，将其分为两组，其中一组是黑色牌（黑桃和梅花）共 26 张，记为事件$B_1$；另一组是红色牌（红桃和方块）共 26 张，记为事件$B_2$。我们定义事件A为 “抽到的牌是 K”。

  首先，$B_1$和$B_2$构成了样本空间的一个划分，即$B_1$和$B_2$互斥（一副牌不可能既是黑色又是红色），且$B_1\cup B_2$是整个样本空间（所有牌不是黑色就是红色）。已知$P(B_1)=P(B_2)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$，即在没有任何其他条件的情况下，抽到黑色牌和红色牌的概率都是$\frac{1}{2}$。
  在黑色牌组$B_1$中，K 有 2 张（黑桃 K 和梅花 K），所以在$B_1$发生的条件下，A发生的概率$P(A|B_1)=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$。
  在红色牌组$B_2$中，K 也有 2 张（红桃 K 和方块 K），所以$P(A|B_2)=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$。
  根据全概率公式$P(A)={\sum }_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$，这里$n=2$，则：
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ P(A)&=P(B_1)P(…
  这与我们直接计算从 52 张牌中抽到 K 的概率结果是一致的，即$\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$，说明全概率公式是合理且有效的。它通过将一个复杂事件A分解为在不同条件$B_i$下的简单事件，然后综合这些简单事件的概率来计算复杂事件的概率。