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【动态规划】对局匹配（分组线性DP）

article 2026/3/13 21:55:58

题目详情

问题描述：

小明喜欢在一个围棋网站上找别人在线对弈。这个网站上所有注册用户都有一个积分，代表他的围棋水平。

　　小明发现网站的自动对局系统在匹配对手时，只会将积分差恰好是K的两名用户匹配在一起。如果两人分差小于或大于K，系统都不会将他们匹配。

　　现在小明知道这个网站总共有N名用户，以及他们的积分分别是A1, A2, ... AN。

　　小明想了解最多可能有多少名用户同时在线寻找对手，但是系统却一场对局都匹配不起来(任意两名用户积分差不等于K)？

输入说明：

第一行包含两个个整数N和K。
　　第二行包含N个整数A1, A2, ... AN。

　　对于20%的数据，1 <= N <= 10

对于60%的数据，1 <= N <= 1000

　　对于100%的数据，1 <= N <= 100000, 0 <= Ai <= 100000, 0 <= K <= 100000

测试用例:

输入：

10 0
1 4 2 8 5 7 1 4 2 8

输出:

题解

问题分析：

构建DP数组 DP[i] i是积分的值 DP[i]代表前i个积分最多匹配不到的人数

注意当k等于0时即为对局中积分不同的用户需要特判

k不等0时把积分分为K组只有组内才有可能出现对局匹配然后依次遍历每一组内最大的DP[i] 每一组的max和即为ans 因为组内不能选择相邻的组内积分按照k值递增

DP数组初始化：

DP[val]数组初始化为有积分val的人数因为k不等于0的话那么起码积分相同的人不会匹配对局没出现的积分全部初始化为0 所以DP数组在创建时就初始化为{0}

DP数组遍历方式:

外层遍历组 i : 0~k-1 （分成k组则每一组的起始分别从0~k-1开始）内层遍历组内每一个积分 j :i~Max j+=k (Max为所有玩家中的积分最大值也是DP数组下标的上限)

状态转移方程：

if(j-2*k>=0){
dp[j]=max(dp[j-k],dp[j-2*k]+cnt[j]);//要选j或者不选j
}else if(j-k>=0){//j前面只有一个
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k]);
}

题解代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<sstream>
#include<map>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn=1e5+5;
int n,k;
int cnt[maxn]={0};//计数 初始化为0
int dp[maxn]={0};//dp[i]表示前i个积分 最多匹配不到的人数
int main(){cin>>n>>k;int val;int Max=-1;//记录最大的积分 方便后续遍历所有积分int sum=0;//统计不同数字的个数 方便k=0特判for(int i=1;i<=n;++i){cin>>val;cnt[val]++;//统计同一个数字有几个if(cnt[val]==1){sum++;//第一次碰到的数字 sum就++}dp[val]++;//dp初始化为val积分出现的个数Max=max(val,Max);//每次更新最大积分值}if(k==0){//k=0特判cout<<sum;return 0;}int ans=0;//分成k组 每一组的开头就是0~k-1 遍历每一组for(int i=0;i<k;++i){int j;//这样每次循环后会保存j的值for(j=i;j<=Max;j+=k){//分类讨论 如果j前面有两个if(j-2*k>=0){dp[j]=max(dp[j-k],dp[j-2*k]+cnt[j]);//要选j或者不选j}else if(j-k>=0){//j前面只有一个dp[j]=max(dp[j],dp[j-k]);}}ans+=dp[j-k];//j-k就是这一组里面最多匹配不到的人数 把每一组加在一起就可以了}cout<<ans;return 0;
}

Code具体说明：

数据结构与变量说明

n 和 k 分别表示用户的数量和积分差。
cnt[maxn] 用于记录每个积分值出现的次数。
dp[maxn] 动态规划数组，dp[i] 表示从积分0到积分i，最多有几个人无法找到对手进行匹配。
Max 记录所有输入积分中的最大值，用于后续遍历所有积分。
sum 统计不同积分的数量，用于处理k=0的特殊情况。

主要逻辑

输入处理：
- 首先读取用户数量n和积分差k。
- 然后循环读取每个用户的积分val，并更新cnt[val]以统计每个积分出现的次数。如果某个积分首次出现，则增加sum计数器。
- 同时初始化dp[val]为该积分出现的次数，并更新Max为当前的最大积分。
特例处理 (k == 0)：
- 如果k为0，意味着没有两个用户可以匹配，因此直接输出不同积分的数量sum作为结果。
动态规划求解：
- 对于每个可能的起点i（从0到k-1），尝试将积分分成若干组，每组之间的积分差为k。
- 对于每一组，通过遍历所有可能的积分值j（从i开始，每次增加k），根据前面的状态来决定是否选择当前积分j。
  - 如果j-2*k >= 0，则可以选择跳过前一组或两组，选取当前积分j或者不选。
  - 如果j-k >= 0，但j-2*k < 0，则只能考虑是否跳过前一组。
- 更新ans，它累加了每一组中无法匹配的人数。
输出结果：
- 最终输出ans，即无法匹配的最多人数。