蓝桥杯备考：图论之Prim算法

嗯。通过我们前面的学习，我们知道了，一个具有n个顶点的连通图，它的生成树包括n-1个边，如果边多一条就会变成图，少一条就不连通了

接下来我们来学一下把图变成生成树的一个算法

Prim算法，我们从任意一个结点开始构造最小生成树，先把离生成树最近的点拉进来，然后更新所有结点距离生成树的距离，然后再拉进来最近的点，然后再更新所有结点到这颗生成树的距离，一直到所有结点全部拉进来的时候，我们的算法就结束了

这里我们需要开两个数组，一个是dist数组来判断某个点距离生成树的距离，另一个是st数组，来判断某个点在不在生成树里

如图，我们把起始点加入进去了，接下来我们更新一下所有点离最小生成树的距离

我们还是找距离生成树最近的结点，如图，是5，我们把5拉进去

接下来把5标记上，然后更新所有点距离最小生成树的距离

然后继续找最小的，应该是2结点了

把2结点拉进去之后，我们再次更新dist数组，....如此往复，直到所有点都遍历完之后，我们的最小生成树也就构建完了；

话不多说我们来实现一下代码

我们先来实现一下邻接矩阵的代码；

这道题我们还要考虑一下连通不连通的情况

比如这张图，当我们用prim算法把2，1，5，4都加到生成树里的时候，3这个结点距离生成树的值还是无穷，就说明他不连通，没法找最小生成树

下面就是我们的代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 5010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dist[N];
bool st[N];
int edges[N][N];
int n, m;
int ret = 0;
int prim()
{dist[1] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)//循环把n个结点加入到生成树里面 {//1.找最近点int t = 0;for (int j = 1; j <= n; j++){if (dist[j] < dist[t] && !st[j]){t = j;}}if (dist[t] == INF) return INF;//不连通//把最小结点加入到生成树里st[t] = true;ret += dist[t];//更新所有结点离最小生成树的距离for (int i = 1; i <= n; i++){dist[i] = min(dist[i], edges[t][i]);}}return ret;
}
int main()
{cin >> n >> m;memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));memset(edges, 0x3f, sizeof(edges));for (int i = 1; i <= m; i++){int a, b, c; cin >> a >> b >> c;edges[a][b] = edges[b][a] = min(edges[a][b],c);}ret = prim();if (ret == INF) cout << "orz" << endl;else cout << ret << endl;return 0;
}

接下来，我们用邻接表实现一下这道题

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 5010, INF = 0x3f3f3f3f;
vector <PII> path[N];
int dist[N];
bool st[N];
int ret = 0;
int n, m;
int prim()
{dist[1] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){int t = 0;for (int j = 1; j <= n; j++){if (dist[t] > dist[j] && !st[j]){t = j;}}if (dist[t] == INF) return INF;st[t] = true;ret += dist[t];for (auto &e : path[t]){int x = e.first, y = e.second;dist[x] = min(dist[x], y);}}return ret;
}
int main()
{memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= m; i++){int x, y, z; cin >> x >> y >> z;path[x].push_back({ y,z });path[y].push_back({ x,z });}int r = prim();if (r == INF) cout << "orz" << endl;else cout << r << endl;return 0;
}

根据我们的代码可以看到，我们的prim算法时间复杂度是N²，如果结点很少边很多的话，我们用prim算法最合适