【数学建模】一致矩阵的应用及其在层次分析法(AHP)中的性质

一致矩阵在层次分析法(AHP)中的应用与性质

在层次分析法(AHP)中，一致矩阵是判断矩阵的一种理想状态，它反映了决策者判断的完全合理性和一致性，也就是为了避免决策者认为“A比B重要，B比C重要，但是C又比A重要”的矛盾。

本文将详细介绍一致矩阵的定义、性质及其在AHP中的重要意义。

关于层次分析法(AHP)的介绍，可以参考：【数学建模】层次分析法(AHP)详解及其应用 。

一、一致矩阵的定义

定义：设$A=[a_{ij}{]}_{n\times n}$是判断矩阵，如果对于任意的 i , j , k ∈ { 1 , 2 , … , n } i, j, k \in \{1, 2, \ldots, n\} i,j,k∈{1,2,…,n}，都有：

$$a_{ij}\cdot a_{jk}=a_{ik}$$

则称矩阵$A$为一致矩阵。

这一定义表明，在一致矩阵中，元素$i$对元素$k$的重要性可以通过元素$i$对元素$j$的重要性与元素$j$对元素$k$的重要性的乘积来确定。

二、一致矩阵的基本性质

1. 倒数性

一致矩阵满足倒数性，即：

$$a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}}$$

这表示元素$j$相对于元素$i$的重要性是元素$i$相对于元素$j$的重要性的倒数。

2. 传递性

一致矩阵满足传递性，即：

$$a_{ij}\cdot a_{jk}=a_{ik}$$

这表示判断的传递性，是一致矩阵的定义与核心特征。

3. 秩为1

一致矩阵$A$的秩$rank(A)=1$，即一致矩阵是一个秩1矩阵。

4. 特征值和特征向量

一致矩阵$A$有且仅有一个非零特征值${\lambda }_{max}=n$，对应的特征向量正是权重向量$W$。其余$n-1$个特征值均为0。

$$A\cdot W=n\cdot W$$

5. 表示形式

任意一致矩阵$A$都可以表示为：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{w_1}{w_1}& \frac{w_1}{w_2}& \cdots & \frac{w_1}{w_n}\\ \frac{w_2}{w_1}& \frac{w_2}{w_2}& \cdots & \frac{w_2}{w_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{w_n}{w_1}& \frac{w_n}{w_2}& \cdots & \frac{w_n}{w_n}\end{array}\right]$$

其中$W=(w_1,w_2,\dots ,w_n{)}^T$是权重向量。

三、一致矩阵的判定

1. 定义法判定

检验矩阵$A$中的所有元素是否满足$a_{ij}\cdot a_{jk}=a_{ik}$。

2. 特征值法判定

计算判断矩阵$A$的最大特征值${\lambda }_{max}$，如果${\lambda }_{max}=n$，则$A$为一致矩阵。

3. 一致性指标判定

计算一致性指标$CI$：

$$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$$

如果$CI=0$，则$A$为一致矩阵。

四、一致矩阵的构造

1. 直接构造法

如果已知权重向量$W=(w_1,w_2,\dots ,w_n{)}^T$，则可以直接构造一致矩阵：

$$a_{ij}=\frac{w_i}{w_j}$$

2. 从非一致矩阵导出

对于非一致矩阵，可以通过以下步骤构造最接近的一致矩阵：

1. 计算非一致矩阵的权重向量$W$
2. 利用$W$构造一致矩阵$A^{\prime }$，其中$a_{ij}^{\prime }=\frac{w_i}{w_j}$

五、一致矩阵在AHP中的意义

1. 理想判断的标准

一致矩阵代表了决策者判断的完全一致性，是判断矩阵的理想状态。在实际决策过程中，由于人的认知限制，很难直接给出一致矩阵，但它是我们追求的目标。

2. 一致性检验的基础

在AHP中，通过比较实际判断矩阵与一致矩阵的差异，来评估判断的一致性程度。一致性比率$CR$越小，表示判断矩阵越接近一致矩阵，判断的一致性越好。

3. 权重计算的理论依据

一致矩阵的特性为AHP中权重计算提供了理论依据。对于一致矩阵，其权重向量就是对应于最大特征值的特征向量。

六、一致矩阵与非一致矩阵的关系

在实际应用中，由于决策者认知的局限性，通常得到的是非一致矩阵。非一致矩阵与一致矩阵的关系可以通过以下方式表示：

$$A=A^{\prime }+E$$

其中$A$是实际的判断矩阵，$A^{\prime }$是对应的一致矩阵，$E$是误差矩阵。

AHP的一致性检验就是评估误差矩阵$E$的大小，判断实际矩阵$A$与理想一致矩阵$A^{\prime }$的接近程度。

七、一致矩阵的数学证明示例

命题1：一致矩阵的最大特征值等于矩阵的阶数

证明：
设$A$是$n$阶一致矩阵，权重向量为$W=(w_1,w_2,\dots ,w_n{)}^T$，则：

$$a_{ij}=\frac{w_i}{w_j}$$

考虑$A\cdot W$的第$i$行元素：

$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot w_j=\sum _{j=1}^n\frac{w_i}{w_j}\cdot w_j=w_i\sum _{j=1}^{n}1=n\cdot w_i$$

因此，$A\cdot W=n\cdot W$，即$n$是$A$的特征值，对应的特征向量是$W$。

又因为$rank(A)=1$，所以$A$有且仅有一个非零特征值，即${\lambda }_{max}=n$。

命题2：一致矩阵的一致性指标CI为0

证明：
由命题1可知，一致矩阵的最大特征值${\lambda }_{max}=n$，因此：

$$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}=\frac{n-n}{n-1}=0$$

八、一致矩阵的实例

例1：2阶一致矩阵

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right]$$

验证：

• $a_{12}\cdot a_{21}=2\cdot \frac{1}{2}=1=a_{11}$
• $a_{21}\cdot a_{12}=\frac{1}{2}\cdot 2=1=a_{22}$

权重向量：$W=(2/3,1/3{)}^T$

例2：3阶一致矩阵

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 6\\ \frac{1}{2}& 1& 3\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{3}& 1\end{array}\right]$$

验证：

• $a_{12}\cdot a_{23}=2\cdot 3=6=a_{13}$
• $a_{21}\cdot a_{13}=\frac{1}{2}\cdot 6=3=a_{23}$
• $a_{31}\cdot a_{12}=\frac{1}{6}\cdot 2=\frac{1}{3}=a_{32}$

权重向量：$W=(6/10,3/10,1/10{)}^T$

九、一致矩阵在实际决策中的应用

在实际决策过程中，一致矩阵主要有以下应用：

1. 作为判断矩阵一致性的参考标准：通过计算一致性比率CR，评估实际判断矩阵与理想一致矩阵的接近程度。

2. 修正不一致判断：当判断矩阵的一致性不满足要求时，可以利用一致矩阵的性质对原判断矩阵进行修正。

3. 简化判断过程：利用一致矩阵的传递性，可以减少判断的次数。理论上，对于$n$个元素，只需要$n-1$次判断就可以构造完整的一致矩阵。

十、结语

一致矩阵作为层次分析法中的理想判断状态，为我们提供了评估判断一致性的标准。虽然在实际决策中很难直接得到完全一致的判断矩阵，但通过一致性检验和必要的修正，我们可以使判断矩阵尽可能接近一致矩阵，从而提高决策的科学性和合理性。

理解一致矩阵的性质和意义，对于正确应用层次分析法、提高多准则决策的质量具有重要价值。

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参考文献

1. Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. New York: McGraw-Hill.
2. 徐泽水. (2002). 层次分析法原理. 天津: 天津大学出版社.
3. 许树柏. (1995). 层次分析法. 北京: 中国人民大学出版社.
4. Saaty, T. L. (1977). A scaling method for priorities in hierarchical structures. Journal of Mathematical Psychology, 15(3), 234-281.