MATLAB 控制系统设计与仿真 - 31

二次型最优控制

考虑到系统如果以状态空间方程的形式给出，其性能指标为：

其中F,Q,R是有设计者事先选定。线性二次最优控制问题简称LQ(Linear Quadractic)问题,就是寻找一个控制,使得系统沿着由指定初态出发的相应轨迹,其性能指标J取得最小值。

LQ问题分为有限时间LQ问题和无限时间LQ问题。在有限时间LQ问题中，终端时刻是固定的，且为有限值；而在无限时间LQ问题中，。

此外，从工程应用角度，还可以把LQ最优控制问题分为调节问题和跟踪问题，而调节问题又分为状态调节问题和输出调节问题。所谓状态调节问题，就是设计最优控制,使在其作用下把系统由初始状态驱动到平衡状态,同时性能指标J取得最小值。而跟踪问题，则要求在使系统的输出跟踪已知的或未知的参考信号的同时，使某个相应的二次型性能指标J为极小。

无限时间LQ状态调节

无限时间LQ状态调节问题中的性能指标为：

其中{A,B}为能控的，为能观的。

无限时间最优调节器系统的结构图如下：

对于无限时间LQ状态调节问题，为其最优控制的充分必要条件是其具有形式：

而最优性能指标为：

其中P为下述Riccati矩阵代数的解。

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应该指出的是，这种设计所得到的闭环控制系统是渐进稳定的。

在MATLAB中，提供了lqr函数用于求无限时间LQ状态调节问题，函数的调用格式为：

[K,P,e]=lqr(sys,Q,R,N); % 计算联系时间系统的最优反馈增益矩阵% K为最优反馈增益矩阵% P为对应的Riccati方程的解% e为对应的闭环系统的极点% Q为状态权重矩阵% R为输入权重矩阵% N为状态，输入交叉权重矩阵

其性能指标为：

默认时N=0。

例如：

假设系统状态空间表达式为：

采用输入反馈，系统的性能指标为：

取

试设计LQ最优控制器，计算最优状态反馈矩阵，并绘制闭环系统的阶跃响应曲线。

MATLAB代码如下：

clear all;clc;
A=[0 1 0;0 0 1;-1 -4 -6];
B=[0 0 1]';
C=[1 0 0];
D=0;
sys=ss(A,B,C,D);
Q=diag([1,1,1]);
R=1;
[K P e]=lqr(sys,Q,R);
Ac=A-B*K;
Bc=B;
Cc=C;
Dc=D;
sysC=ss(Ac,Bc,Cc,Dc);
step(sysC);
xlabel('time(s)');
ylabel('response')
title('step response');
grid on

程序运行结果如下：

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