人工智能之数学基础:矩阵分解之LU分解

本文重点

LU分解是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个方阵分解为一个下三角矩阵（L）和一个上三角矩阵（U）的乘积。这种分解方法在数值线性代数中有着广泛的应用，特别是在求解线性方程组、计算矩阵的行列式、求逆矩阵等方面。

LU分解的基本概念

设A是一个n×n的方阵，如果存在一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，使得A=LU，则称A可以进行LU分解。其中，L是一个下三角矩阵，即矩阵中的所有元素都位于主对角线及其下方；U是一个上三角矩阵，即矩阵中的所有元素都位于主对角线及其上方。在标准LU分解中，通常要求L的主对角线元素为1，这样的L被称为单位下三角矩阵。

LU分解的存在性与唯一性

并非所有方阵都可以进行LU分解。LU分解存在的条件主要依赖于矩阵的主子式是否非零。一个n×n的方阵A可以进行LU分解，当且仅当所有的主子式（leading principal minors）均不为零。主子式指的是矩阵的左上角k×k子矩阵的行列式，其中k=1, 2, ..., n。

LU分解的唯一性取决于选择的分解方法。在Doolittle法中，要求下三角矩阵L的对角线元素均为1，这种规范化使得LU分解唯一。而在Crout法中，允许下三角矩阵L的对角线元素不为1，但通常需要进行某种规范化以保证唯一性。因此，通过适当的规范化条件，