相干光信号处理的一些基础知识

1. 逆琼斯矩阵问题

逆琼斯矩阵方法常用于逆向补偿由光学系统或传输信道（如光纤）引入的偏振态（SOP, State of Polarization）畸变。

1.1 琼斯向量

任意偏振光可用二维复数向量表示：
$$\mathbf{E}=\left[\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}|E_x|e^{i{\varphi }_x}\\ |E_y|e^{i{\varphi }_y}\end{array}\right]$$
其中，$E_x$和$E_y$是光电场在$x$和$y$方向上的分量，${\varphi }_x$和${\varphi }_y$是相位。

1.2 琼斯矩阵

光学器件（如偏振片、波片）或传输信道（如光纤）对偏振态的影响可用 2x2复数矩阵表示：
$$\mathbf{J}=\left[\begin{array}{cc}{J}_{xx}& J_{xy}\\ J_{yx}& J_{yy}\end{array}\right]$$

输入光${\mathbf{E}}_{in}$经过系统后变为
$${\mathbf{E}}_{out}=\mathbf{J}{\mathbf{E}}_{in}$$
琼斯矩阵的逆矩阵${\mathbf{J}}^{-1}$满足
$${\mathbf{J}}^{-1}\mathbf{J}=\mathbf{J}{\mathbf{J}}^{-1}=\mathbf{I}$$
所以逆琼斯矩阵可以用于抵消信道的偏振畸变，恢复原始信号
$${\mathbf{E}}_{original}={\mathbf{J}}^{-1}{\mathbf{E}}_{received}$$

1.3 动态信道中逆琼斯矩阵的计算

在光纤通信中，信道琼斯矩阵$\mathbf{J}(t)$偏振模色散、环境扰动等因素的影响，而实时发生变化。为此，需要实时估计逆琼斯矩阵以跟踪信道变化。常用的方法包括：
（1）基于训练序列的估计
该方法发送已知偏振态的训练信号，通过接收信号反向计算${\mathbf{J}}^{-1}$。该方法会占用带宽降低传输效率。

(2) 盲自适应算法
以恒模算法为例，假设逛信号幅度恒定，通过迭代调整逆矩阵系数以最小化误差
$${\mathbf{J}}^{-1}(k+1)={\mathbf{J}}^{-1}(k)+\mu \mathbf{e}(k){\mathbf{E}}^{\ast }(k)$$

2. MIMO算法在相干光中的应用

2.1 MIMO算法的作用

在单模光纤中，光信号存在两个正交偏振态。由于光纤的双折射效应和动态扰动(如温度变化、机械震动等)，这两个偏振态会发生随机耦合，导致接收端无法区分原始信号。类似地，在多模光纤或少模光纤中，不同空间模式也会相互干扰。MIMO算法就是是为了解决偏振复用(PDM)和多模传输带来的信号混叠问题。其核心思想是通过数字均衡技术，逆向估计信道传输矩阵(如琼斯矩阵或模式耦合矩阵)，在接收端对混合的偏振或模式信号进行分离和均衡。

2.2 MIMO算法应用的信号模型

发送端： 发送两路独立信号(如X/Y偏振或不同模式)$\mathbf{s}(t)=[s_x(t),s_y(t){]}^T$
信道效应: 光纤引入的偏振/模式混合和损伤可用矩阵$\mathbf{H}(t)$表示(如2x2琼斯矩阵)，则接收端接收到的信号为（不考虑噪声）
$$\mathbf{r}(t)=\mathbf{H}(t)\mathbf{s}(t)$$
接收端: 采用自适应MIMO均衡器(通常为FIR滤波器结构)，输入是两路偏振信号$r_x(t)$和$r_y(t)$，输出是分离后的两路信号${\hat{s}}_x(t)$和${\hat{s}}_y(t)$。显然：
$$\left[\begin{array}{c}{\hat{s}}_x\\ {\hat{s}}_y\end{array}\right]=\mathbf{W}\left[\begin{array}{c}{r}_x(t)\\ r_y(t)\end{array}\right]$$
其中，$\mathbf{W}$是均衡器权重矩阵，需要利用自适应均衡算法动态调整以逼近${\mathbf{H}}^{-1}$。