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WebGL数学手记:矩阵基础

article 2026/1/28 3:43:11

一、矩阵的定义

矩阵，数学术语。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

1.英文发音（Matrix）

Matrix的发音类似于中文的[美吹克斯]，知道它的发音。方便后期看教程时能听懂别人讲什么。

2.定义

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。

3.单位矩阵

二、矩阵运算

1.矩阵乘法

1.1前提条件

矩阵A的列数 = 矩阵B的行数
如果A是m×n矩阵，B必须是n×p矩阵，结果矩阵C将是m×p矩阵

1.2计算公式

对于矩阵C = A × B，其中A是m×n矩阵，B是n×p矩阵：

矩阵C的第i行第j列元素cij计算公式为：
cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ... + ain*bnj = Σ(aik * bkj) (k=1到n)

2.转置矩阵

将矩阵的行列互换得到的新矩阵称为转置矩阵，转置矩阵的行列式不变。

的行列互换之后得到的矩阵，称为的转置矩阵，记作 $_A{T}$

例如，，

3.逆矩阵

对于一个n×n的方阵A，如果存在另一个n×n矩阵B，使得A × B = B × A = I

其中I是单位矩阵，那么：

矩阵A称为可逆矩阵（或非奇异矩阵）
矩阵B称为A的逆矩阵，记作A⁻¹

3.1存在意义

类似于倒数的概念，在几何运算中常用于撤回的操作，比如有一个矩阵 $\begin{vmatrix} &0 & -1 \\ &1 & 0 \end{vmatrix}$ 这个矩阵的线性变换是将坐标系逆时针旋转90（下面有讲到旋转矩阵），这时候有一个向量（1，1）乘这个矩阵，相当于逆时针旋转90度得到（-1,1）

$\begin{vmatrix} &0 & -1 \\ &1 & 0 \end{vmatrix}$ * $\begin{vmatrix} 1 \\ 1 \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} -1 \\ 1 \end{vmatrix}$

在普通的实数运算中一个变量x 乘 2 再乘 $\frac{1}{2}$ 最终的结果是不变的，在向量的运算中也是这样

$\begin{vmatrix} &0 & -1 \\ &1 & 0 \end{vmatrix}$ 的逆矩阵是 $\begin{vmatrix} &0 & 1 \\ &-1 & 0 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} &0 & 1 \\ &-1 & 0 \end{vmatrix}$ * $\begin{vmatrix} -1 \\ 1 \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} 1 \\ 1 \end{vmatrix}$

三、几何意义

❗直白来说就是有一个矩阵A,让向量发生线性转换

1.平移矩阵

假设有一个平面点（x,y）,要做一个平移（x+tx，y+ty），把坐标（x,y）当成一个2x1的矩阵去找刚刚好的一个矩阵，因为2x2的矩阵不满足这样一个矩阵，就在3x3的矩阵中刚好找到这样的一个矩阵

[x']   [ 1  0  tx ] [x]   [x + tx]
[y'] = [ 0  1  ty ] [y] = [y + ty]
[1 ]   [ 0  0  1  ] [1]   [  1   ]

所以下面这个矩阵通常就叫做平移矩阵

[ 1  0  tx ]
[ 0  1  ty ]
[ 0  0  1  ]

同样的道理，如果在三维坐标中平移矩阵就是

[ 1  0  0  tx ]
[ 0  1  0  ty ]
[ 0  0  1  tz ]
[ 0  0  0  1  ]

❓为什么需要矩阵多加一行和一列？

不加的话矩阵只能表示线性变换(旋转、缩放、剪切等)
平移是仿射变换，不是线性变换
通过增加一维(w分量)，可以将平移表示为线性变换

2.缩放矩阵

[x']   [ sx  0] [x]   [x · sx]
[y'] = [ 0  sy] [y] = [y · sy]

//二维
[ sx 0 ]
[ 0  sy]
//三维
[ sx 0  0 ]
[ 0  sy 0 ]
[ 0  0  sz]

3.旋转矩阵

3.1绕X轴旋转(θ角度)

[x']   [ 1  0     0    ] [x]   [x]
[y'] = [ 0  cosθ -sinθ ] [y] = [cosθy -sinθz]
[z'] = [ 0  sinθ  cosθ ] [z] = [sinθy + cosθz][ 1  0     0   ]
[ 0  cosθ -sinθ]
[ 0  sinθ  cosθ]

如果上面的不好理解的话就假设θ再小一点儿

旋转后y值坐标为向量的模乘sin(α+θ)

由三角函数sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ、 sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ可得

y' = ycosθ + xsinθ 【💡y= sinα; x = cosα】

因为上图是逆时针旋转的，也就是说 θ是负数，所以真实的情况是

y' = ycosθ - xsinθ

以此类推可得出下面绕y轴旋转和绕z轴旋转的旋转矩阵

3.2绕Y轴旋转(θ角度)

[ cosθ  0  sinθ]
[ 0     1  0   ]
[ -sinθ 0  cosθ]

3.3绕Z轴旋转(θ角度)

[ cosθ -sinθ  0]
[ sinθ  cosθ  0]
[ 0     0     1]//二维的旋转矩阵
[ cosθ -sinθ]
[ sinθ  cosθ]