660 中值定理

前言

background music: 《代替》 张叶蕾

660 上面没有专门的中值定理章节，我蒙了。不过应该可以找一下。就是证明题，标志性应该还行。找一下。然后做一下。660 的题质量应该还是非常高的。但是积分中值定理，还有拉格朗日应用在极限题里面真的不好找，算了不找了。就找一下罗尔定理的证明题就好了。另外柯西中值定理怎么没怎么用过呜呜呜。

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这题列完式子就无从下手了。这么难的么。

看了一下答案，好像也就是硬算的，也没什么新的东西，我没做出来，不是式子列错了，是因为没有咬牙算下去，主要是我也不知道这个东西还可以算下去。我不知道要把 $\xi$ 分离开，然后可以算平方，然后开根号算我们最后要的结果，这算是一个小的 trick

哪怕知道这个东西，算下去也挺有难度啊。看了一下，是非常有操作性，三角函数换元，什么时候把 $arcsin0$ 去掉，这都是对我来说有难度的东西，然后洛必达，三角恒等变换，等价无穷小，用得眼花缭乱的，这题非常秀。实际上也不需要这个天花乱坠的技巧，换元之后皮亚诺余项的泰勒展开就可以了，直接出答案了。

三角换元可以使用是因为，b 趋近于 0 ，因为 0 在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 这个区间内。然后皮亚诺余项泰勒展开。

突然发现泰勒公式的使用场景还挺多的，求极限的时候，高阶导数的时候，中值定理，这三个部分都有用到泰勒公式，但是中值定理感觉和泰勒公式没啥关系。这个题不是用的拉格朗日中值定理吗。可能是辅助手段吧。就这么理解吧。

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有点无奈，把表示式列出来，然后果断地选择了一个错误答案，但是我感觉我计算应该没啥问题。。。检查了一遍，感觉没啥问题，奇怪了。

计算是真的细节。计算能力决定了考研数学的高度，因为思路真的都比较简单吧，考研数学没有压轴题，全是简单题。

卡住我的是求极限，就算我把式子列出来，也不能算到最后，求极限的能力非常关键。。。太难算了，趋向于正无穷的极限，先用倒代换换成分式，然后用洛必达。奥，直接根式有理化也可以。然后抓大头。

能约分的尽量约分，然后写的时候尽可能小心谨慎一点，算错是真的非常遗憾。哈哈哈，想起来那个老师说的，思路正确，一通计算，最后算出来一个答案，结果还真有这个答案，满心欢喜地提交，结果是一个错误答案，空欢喜一场，是真的只差一点点啊。就差一点点。尽量不让这种情况发生。多练习提升自己的技术水平。另外这个题，判断导数的正负性，还需要配方，然后才能算出正负性，限制条件写的非常严格。

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比拉格朗日中值定理多了一个变量，写在了导函数里面，这应该要怎么分析呢？

deepseek 深度思考感觉确实可以，主观上感觉思考得比 kimi 更加深入，但是深度思考就需要消耗更多的时间，也面临服务器繁忙的情况。经常问不了他。这个题是要用泰勒展开，我就说为什么要把泰勒放到中值定理这一章，原来是因为经常要用泰勒定理把一个函数在某个点处展开。泰勒展开之后用系数对应法就可以了。另外，这个题非常严谨，提供了二阶导数不为零的信息，但是乍一看不能看明白为什么要提供这个信息。泰勒展开之后会出现二阶导数。

总结

这个难度拉满，虽然就是基础题，也不是不能理解，但是独立写起来还是非常吃力的，主要是一些 trick ，还有有些方法知道，但是不知道什么时候该用这个方法，没有建立这个条件反射，比如中值定理遇到需要在一个点处展开就用泰勒展开，展开之后会出现二阶及以上的高阶导数，还有就是计算能力不行的话，一些送分题也送不到自己手上。那就非常遗憾了。