【差分隐私相关概念】瑞丽差分隐私（RDP）-瑞丽散度约束了贝叶斯因子后验变化

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分步解释和答案：

在Rényi差分隐私（RDP）框架中，通过贝叶斯因子和Rényi散度的关系可以推导出关于后验变化的概率保证。以下是关键步骤的详细解释：

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1. 贝叶斯因子的定义与分解

设相邻数据集 $D$ 和 $D^{\prime }$，机制 $f$ 的输出为随机变量 $X\sim f(D)=P$ 或 $X\sim f(D^{\prime })=Q$。
根据贝叶斯定理，后验概率比（即贝叶斯因子）定义为：
$$R_{\text{post}}(D,D^{\prime })=\frac{p(D\mid X)}{p(D^{\prime }\mid X)}=\frac{p(X\mid D)p(D)}{p(X\mid D^{\prime })p(D^{\prime })}.$$
其中：

• $p(D)$ 和 $p(D^{\prime })$ 是数据集的先验概率，
• $p(X\mid D)=P(X)$ 和 $p(X\mid D^{\prime })=Q(X)$ 是似然函数。

先验概率比为：
$$R_{\text{prior}}(D,D^{\prime })=\frac{p(D)}{p(D^{\prime })}.$$

将两者相除，得到似然比：
$$\frac{R_{\text{post}}}{R_{\text{prior}}}=\frac{p(X\mid D)}{p(X\mid D^{\prime })}=\frac{P(X)}{Q(X)}.$$

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2. 期望与Rényi散度的联系

目标是计算在分布 $P$ 下，似然比的 $(\alpha -1)$ 阶矩：
$${\mathbb{E}}_P\left[{\left(\frac{R_{\text{post}}}{R_{\text{prior}}}\right)}^{\alpha -1}\right]={\mathbb{E}}_P\left[{\left(\frac{P(X)}{Q(X)}\right)}^{\alpha -1}\right].$$
根据期望的定义：
$${\mathbb{E}}_P\left[{\left(\frac{P}{Q}\right)}^{\alpha -1}\right]=\int P(x){\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)}^{\alpha -1}dx=\int P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx.$$

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3. Rényi散度的定义

Rényi散度 $D_{\alpha }(P\parallel Q)$ 的定义为：
$$D_{\alpha }(P\parallel Q)=\frac{1}{\alpha -1}\log \int P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx.$$
因此，上述积分可表示为：
$$\int P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx=\exp \left((\alpha -1)D_{\alpha }(P\parallel Q)\right).$$

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4. 等式链的完成

结合上述步骤：
$${\mathbb{E}}_P\left[{\left(\frac{R_{\text{post}}}{R_{\text{prior}}}\right)}^{\alpha -1}\right]=\exp \left((\alpha -1)D_{\alpha }(P\parallel Q)\right).$$
进一步，当在分布 $Q$ 下计算时：
$${\mathbb{E}}_Q\left[{\left(\frac{P(X)}{Q(X)}\right)}^{\alpha }\right]=\int Q(x){\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)}^{\alpha }dx=\int P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }dx,$$
这与 ${\mathbb{E}}_P$ 的结果一致。因此：
$${\mathbb{E}}_Q\left[P(x{)}^{\alpha }Q(x{)}^{1-\alpha }\right]=\exp \left((\alpha -1)D_{\alpha }(P\parallel Q)\right).$$

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5. 结论

Rényi散度 $D_{\alpha }(P\parallel Q)$ 直接约束了贝叶斯因子的后验变化：
$${\mathbb{E}}_P\left[{\left(\frac{R_{\text{post}}}{R_{\text{prior}}}\right)}^{\alpha -1}\right]=\exp \left((\alpha -1)D_{\alpha }(P\parallel Q)\right).$$
这表明，RDP的隐私保证通过限制后验概率比的矩，确保了攻击者无法通过观测结果 $X$ 显著区分数据集 $D$ 和 $D^{\prime }$。

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关键点总结：

1. 贝叶斯因子分解为似然比与先验比的乘积。
2. 似然比的 $(\alpha -1)$ 阶矩与Rényi散度直接相关。
3. Rényi散度的指数形式量化了后验变化的概率界限。