第 4 篇：平稳性 - 时间序列分析的基石

第 4 篇：平稳性 - 时间序列分析的基石

在上一篇中，我们学习了如何将时间序列分解为趋势、季节性和残差。我们看到，很多真实世界的时间序列（比如 CO2 浓度）都包含明显的趋势（长期向上或向下）和/或季节性（固定周期的波动）。

这些成分虽然揭示了数据的内在模式，但也带来了一个“问题”：它们使得序列的统计特性随时间而变化。例如，带有上升趋势的序列，其均值（平均水平）会随着时间推移而增加。这种“不稳定”的特性，在时间序列分析中被称为非平稳性 (Non-stationarity)。

为什么我们要关心这个？因为许多经典且强大的时间序列预测模型（如 ARIMA 模型家族）都建立在一个关键假设之上：数据是平稳的 (Stationary)。

本篇我们就来深入探讨这个时间序列分析的基石——平稳性。我们将了解：

1. 什么是平稳性？
2. 为什么平稳性如此重要？
3. 如何判断一个序列是否平稳？
4. 如果序列不平稳，最常用的处理方法是什么？

什么是平稳性 (Stationarity)？

想象一条平静的湖面（Stationary）和一条奔腾的河流（Non-stationary）。

• 平静的湖面： 在任何位置取一瓢水，它的平均深度、水面的波动程度（方差）看起来都差不多。
• 奔腾的河流： 在上游和下游取水，平均深度可能截然不同；在急流和缓滩处，水流的湍急程度（方差）也相差甚远。

平稳性 就是时间序列数据拥有类似“平静湖面”的特性。更严谨地说，一个时间序列是**（弱）平稳**的，如果它的：

1. 均值 (Mean) 不随时间 t 变化。
2. 方差 (Variance) 不随时间 t 变化。
3. 自协方差 (Autocovariance) 只依赖于时间的间隔 k，而不依赖于具体的时间点 t。（这保证了序列内部的相关性结构是稳定的，我们暂时不用深究数学细节，理解前两点更重要）。

看图说话：

• 平稳序列 (Stationary): 数据点围绕一个固定的水平线上下波动，且波动的幅度大致稳定。典型的例子是白噪声 (White Noise)，即纯粹的随机波动。
  
• 非平稳序列 (Non-stationary):
  • 含趋势: 数据明显呈现长期上升或下降。 (例如我们上一篇分解出的 CO2 趋势部分)
  • 含季节性: 数据存在固定的周期性波动。 (例如 CO2 的季节性部分)
  • 方差变化: 数据的波动幅度随时间变化（例如，早期波动小，后期波动剧烈）。
  • 随机游走 (Random Walk): 一个典型的非平稳过程，下一步的位置是当前位置加上一个随机步长。股价有时被建模为类似随机游走。
  • 

为什么平稳性如此重要？

1. 模型假设： 很多经典时间序列模型（如 ARMA, ARIMA）明确要求输入数据是平稳的。如果用非平稳数据直接建模，可能会导致模型参数估计不准、预测结果不可靠。
2. 可预测性基础： 平稳序列意味着其统计特性在未来可能保持不变。这为我们基于历史模式进行预测提供了更坚实的基础。如果一个序列的均值和方差都在不断变化，预测其未来将非常困难。
3. 简化分析： 处理平稳序列通常比处理非平稳序列更简单。我们可以专注于分析其内部的相关性结构（自相关性），而不用同时处理变化的趋势和季节性。

如何判断平稳性？

主要有两种方法：

1. 视觉检查 (Visual Inspection):

   • 直接绘制时间序列图： 观察是否存在明显的趋势或季节性模式？数据的均值线是否大致水平？数据的波动幅度是否大致恒定？
   • 查看分解图 (来自上一篇)： seasonal_decompose 的结果可以帮助我们。如果趋势 (Trend) 成分不是水平的，或者季节性 (Seasonal) 成分很明显，那么原始序列很可能不是平稳的。

2. 统计检验 (Statistical Tests):

   • 肉眼观察有时会骗人，我们需要更客观的统计方法。最常用的检验之一是 ADF 检验 (Augmented Dickey-Fuller Test)。

   • ADF 检验的目的： 它的“原假设 (Null Hypothesis)”是序列存在单位根 (Unit Root)，即序列是非平稳的。它的“备择假设 (Alternative Hypothesis)”是序列没有单位根，即序列是平稳的。

   • 如何解读结果？ 我们主要关心检验输出的 p-value：

     • 如果 p-value > 0.05 (常用的显著性水平)： 我们没有足够证据拒绝原假设。也就是说，我们倾向于认为序列是非平稳的。
     • 如果 p-value <= 0.05： 我们拒绝原假设。也就是说，我们倾向于认为序列是平稳的。

   • Python 实现 (使用 statsmodels):

   from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
   import statsmodels.api as sm
   import pandas as pd# 仍然使用上一篇的月度 CO2 数据
   data = sm.datasets.co2.load_pandas().data
   data['co2'].interpolate(inplace=True)
   monthly_data = data.resample('M').mean()print("对原始月度 CO2 数据进行 ADF 检验:")
   result = adfuller(monthly_data['co2'])print('ADF Statistic: %f' % result[0])
   print('p-value: %f' % result[1])
   print('Critical Values:')
   for key, value in result[4].items():print('\t%s: %.3f' % (key, value))# 解释 p-value
   if result[1] > 0.05:print("\n结论：p-value > 0.05，未能拒绝原假设，数据很可能非平稳。")
   else:print("\n结论：p-value <= 0.05，拒绝原假设，数据很可能平稳。")
   

   运行上述代码，你会发现 CO2 数据的 p-value 远大于 0.05，印证了我们视觉观察到的非平稳性。

如何让序列平稳？—— 差分 (Differencing)

如果我们的序列被判断为非平稳，怎么办？最常用、最简单的处理方法就是差分 (Differencing)。

差分的思想很简单：计算相邻时间点数据之间的差值。

• 一阶差分 (First Difference): Y'(t) = Y(t) - Y(t-1)

  • 目的： 主要用于消除序列中的线性趋势。
  • 效果： 如果原序列有稳定增长或下降的趋势，差分后的序列通常会围绕 0 值上下波动。

• 季节性差分 (Seasonal Difference): Y'(t) = Y(t) - Y(t-s)，其中 s 是季节性周期长度（例如，对于月度数据年度季节性，s=12）。

  • 目的： 主要用于消除序列中的季节性。

• 高阶差分: 有时需要进行多次差分（例如，对一阶差分后的序列再做一次差分，称为二阶差分），或者结合使用普通差分和季节性差分，来达到平稳。但通常一阶或二阶差分就足够了。过度差分可能会引入不必要的模式。

Python 实现一阶差分 (.diff()):

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns# 对 CO2 数据进行一阶差分
monthly_data['co2_diff'] = monthly_data['co2'].diff()# 差分后第一个值是 NaN，需要去掉或填充
monthly_data_diff = monthly_data.dropna() # 去掉 NaN 值print("\n差分后的数据 (前几行):")
print(monthly_data_diff.head())# 绘制差分后的序列图
plt.figure(figsize=(12, 6))
sns.lineplot(data=monthly_data_diff, x=monthly_data_diff.index, y='co2_diff')
plt.title('First Difference of Monthly CO2 Data')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('First Difference')
plt.axhline(0, color='red', linestyle='--') # 添加 0 值参考线
plt.show()# 对差分后的序列再次进行 ADF 检验
print("\n对一阶差分后的 CO2 数据进行 ADF 检验:")
result_diff = adfuller(monthly_data_diff['co2_diff'])
print('ADF Statistic: %f' % result_diff[0])
print('p-value: %f' % result_diff[1])
print('Critical Values:')
for key, value in result_diff[4].items():print('\t%s: %.3f' % (key, value))if result_diff[1] > 0.05:print("\n结论：p-value > 0.05，差分后数据仍可能非平稳 (可能需要进一步处理，如季节性差分)。")
else:print("\n结论：p-value <= 0.05，拒绝原假设，差分后数据很可能平稳。")# 注意：CO2 数据同时有强趋势和强季节性，仅一阶差分可能不足以完全平稳，
# ADF检验的 p-value 可能会显著降低，但仍可能大于 0.05 或略小于 0.05。
# 完全平稳化可能需要再做季节性差分: .diff(12)
# monthly_data['co2_diff_seasonal'] = monthly_data['co2'].diff().diff(12).dropna()
# 但我们这里主要演示一阶差分的效果。

解读结果：

1. 差分后的图形： 你会看到，原始 CO2 数据那个明显的上升趋势消失了！差分后的序列现在看起来更像是在 0 附近波动，尽管可能还保留着一些季节性模式。
2. 差分后的 ADF 检验： 运行 ADF 检验，你会发现差分后序列的 p-value 显著降低了（可能已经小于 0.05，或者非常接近）。这表明一阶差分有效地移除了大部分非平稳性（主要是趋势）。如果 p-value 仍然偏高，可能意味着还需要处理季节性（进行季节性差分）。

重要提醒： 我们的目标是使用尽可能少的差分次数来使序列平稳。过度差分会丢失信息。

小结

今天我们学习了时间序列分析中一个至关重要的概念——平稳性：

• 定义： 平稳序列的均值、方差和自协方差结构不随时间改变。
• 重要性： 是许多经典时间序列模型的基础假设。
• 判断方法：
  • 视觉检查： 观察时间序列图和分解图中的趋势、季节性及波动幅度。
  • 统计检验： 使用 ADF 检验，通过 P-value 判断是否存在单位根（非平稳）。
• 处理方法： 最常用的使序列平稳的方法是差分（一阶差分消除趋势，季节性差分消除季节性）。

理解并能够处理数据的平稳性，是进行有效时间序列建模的关键一步。

下一篇预告

到目前为止，我们已经掌握了如何加载、可视化、分解时间序列，以及如何处理非平稳性。现在，我们终于可以开始尝试做一些简单的预测 (Forecasting) 了！

下一篇，我们将学习几种最基础、最直观的预测方法，比如朴素预测、平均法、移动平均法等。它们虽然简单，但有时效果惊人，并且是理解更复杂模型的重要起点。

准备好迎接你的第一个时间序列预测模型了吗？敬请期待！

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（对你的数据进行 ADF 检验和差分，结果如何？差分后的序列看起来平稳了吗？欢迎在评论区分享你的实践！）