线性代数 | 知识点整理 Ref 2

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【数学】线性代数知识点总结

阿巴 Jun 于 2024-11-11 16:58:05 发布

0. 前言

线性代数是数学的一个分支，线性代数的研究对象是向量、向量空间（又称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。即线性代数主要处理线性关系问题，线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。

线性（Linear）是指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

根据同济大学数学系编著的《线性代数》教材，将知识点按行列式、矩阵、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换五部分进行归纳总结。

1. 行列式

1.1 定义

矩阵的行列式，determinate（简称 det），是基于该矩阵的行列数据所计算的一个标量，$n$ 阶行列式的几何意义是以 $n$ 个向量为邻边的 $n$ 维图形的体积。

注意：行列式的行数 = 列数，行列式引入求解线性方程组（后面将提到）。

1.2 性质

• 性质 1：行列互换，其值不变

  即行列式与它的转置行列式的值相等，$|A|=|A^T|$。

• 性质 2：行列式某行（列）的元素全为 0，行列式的值为 0。

  几何上可以理解为该 $n$ 阶行列式的值等于 $n$ 维图形的体积，现在有一个维度（向量）长度为 0，则该图形这个维度上体积为 0。

  放在定义式中，累加的每一项都是 0，因为累加的每一项是取自不同行不同列的 $n$ 个元素乘积。

• 性质 3：行列式的某两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

  几何上理解为组成 $n$ 维图形的 $n$ 个向量中，有两向量（边）在同一直线上，故在该图形这个维度上体积为 0。

  在定义式中，成比例的项可以提出公因式，提出公因式后奇排列和偶排列的项会一一抵消（可以列一个简单的 3 阶行列式进行感受）。

• 性质 4：某行（列）所有的元素都是两个数的和，则可将其拆成两个行列式之和

  如：$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1+b_1& a_2+b_2& a_3+b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|$

  理解这件事情需要从定义式入手。

  

  定义式是多项的累加，而每项都包含不同行列的元素之积，这里的可拆其实就是定义式中进行乘法分配律。

  注意：行列式拆是只拆某行（列），而矩阵 $A+B$ 相加指的是所有元素相加。

• 性质 5：两行（列）互换，行列式的值反号

  反号是因为奇偶排列发生了改变，要理解这一点从定义中行列式的定义式入手，$j_1{j}_2\cdots j_n$ 是排列，当为偶排列时带正号，为奇排列时带负号，行列式行（列）互换，奇偶排列改变，行列式的值反号。

• 性质 6：某行（列）元素有公因子 $k$（$k\ne 0$），则 $k$ 可提到行列式外面

  要理解性质 6 需要和性质 5 一样从行列式的定义式入手，某行（列）的元素都有公因子，代表定义式中累加的每一项都有公因子，那么相当于将每一项的这个公因子 $k$ 提取到外面。

  注意：行列式只是某行（列）公因子提到外面，而矩阵是每一个元素的公因子提到外面。

• 性质 7：某行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式的值不变

  从定义式入手，结合定理 4，可以将其 “乘法分配律”，之后拆成原来的行列式与被加那行（列）替换为 $k$ 倍加的那行的行列式相加，再根据性质 3 的理解，知道被加那行（列）替换为 $k$ 倍加的那行的行列式为 0。

1.3 行列式展开定理（公式）

1.3.1 余子式与代数余子式

• 定义：在 $n$ 阶行列式中，划去元素 $a_{ij}$ 所在的 $i$ 行与 $j$ 列的元，剩下的元不改变原来的顺序所构成的 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式。数学表示上记作 $M_{ij}$。

  如：$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$ 中，$a_{22}$ 的余子式 $M_{22}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

• 而根据 $M_{ij}$ 定义代数余子式 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

  则在上面行列式中 $A_{22}=(-1{)}^{2+2}{M}_{22}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{13}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|$

• 引理：一个 $n$ 阶行列式，如果其中第 $i$ 行所有元素除 $(i,j)$ 元 $a_{ij}$ 外都为零，那么这行列式等于 $a_{ij}$ 与它的代数余子式的乘积，即 $D=a_{ij}{A}_{ij}$

  这一引理可以根据行列式的计算式推导（将 $i$ 行和 $j$ 列包含的含 0 项全部划掉，仅剩含 $a_{ij}$ 的项，提出 $a_{ij}$ 后剩下的为代数余子式）。

1.3.2 行列式按行（列）展开法则

• 定义：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 $D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$ $(i=1,2,\dots ,n)$ 或 $D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}$ $(j=1,2,\dots ,n)$。

  这个法则可以根据引理与性质 4 或行列式计算式推导得到。

• 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 $a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=0$ $(i\ne j)$ 或 $a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+\cdots +a_{ni}{A}_{nj}=0$ $(i\ne j)$。

  推论的证明根据性质 3：行列式的某两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零。

2. 矩阵

2.1 定义

• 由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表 $\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}$ 称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称 $m\times n$ 矩阵，记作 $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$ 简记为 $A=A_{m\times n}=(a_{ij}{)}_{m\times n}=(a_{ij})$。

  这 $m\times n$ 个数称为矩阵 $A$ 的元素，简称为元。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

  • 行数和列数都等于 $n$ 的矩阵称为 $n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵。

2.1.1 矩阵与行列式概念区分

2.1.2 矩阵与线性变换

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系

由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法

• 定义：设由两个 $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ 和 $B=(b_{ij})$，那么矩阵 $A$ 与 $B$ 的和记作 $A+B$，规定为 $A+B=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$。

  注意：只有两个矩阵 同型 时（行数等于行数、列数等于列数），这两个矩阵才能进行加法运算。

  行列式加法是某行或某列加，矩阵是同型矩阵对应元素一一相加。

• 矩阵加法的运算规律

  1. 交换律：$A+B=B+A$

  2. 结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$

  3. 矩阵减法相当于：$A-B=A+(-B)$

     其中 $-B$ 称为 $B$ 的负矩阵，有：$B+(-B)=O$

2.2.2 数与矩阵相乘

• 定义：数 $\lambda$ 与矩阵 $A$ 的乘积记作 $\lambda A$ 或 $A\lambda$，规定为 $\lambda A=A\lambda =\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& \cdots & \lambda a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \lambda a_{m1}& \lambda a_{m2}& \cdots & \lambda a_{mn}\end{array}\right)$。

  行列式数乘是乘某行（列），矩阵数乘是乘每个元素。

• 矩阵数乘的运算规律

  1. 结合律：$(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$

  2. 分配律：$(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$，$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

2.2.3 矩阵与矩阵相乘

• 定义：设 $A=(a_{ij})$ 是一个 $m\times s$ 矩阵，$B=(b_{ij})$ 是一个 $s\times n$ 矩阵，那么规定矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的乘积是一个 $m\times n$ 矩阵 $C=(c_{ij})$，其中 $c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}={\sum }_{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$ $(i=1,2,\dots ,m;j=1,2,\dots ,n)$ 并把此乘积记作 $C=AB$。

  

  显然，只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。

• 矩阵乘法的运算规律

  1. 结合律：$(AB)C=A(BC)$

  2. 数乘的结合律：$\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$

  3. 分配律：$A(B+C)=AB+AC$，$(B+C)A=BA+CA$

  4. 单位矩阵再矩阵乘法中作用类似于数字 1：$E_m{A}_{m\times n}=A_{m\times n}{E}_n=A$

  推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 $\lambda E$ 与任何同阶方阵都是可交换的，即：$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$

2.2.4 矩阵的幂运算

• 定义：设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，定义 $A^1=A$，$A^2=A^1{A}^1$，KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 6: \dots\̲)̲，A^{k + 1} = A^k A^1$，

  其中 $k$ 为正整数，显然只有方阵的幂才有意义。

• 矩阵的幂满足的运算规律

  1. $A^k{A}^l=A^{k+l}$

  2. $(A^k{)}^l=A^{kl}$

2.2.5 矩阵的转置

• 定义：把矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 $A$ 的 转置矩阵，记作 $A^T$。

  注意：若 $A=A^T$，则将 $A$ 称为 对称阵；若 $A=-A^T$，则将 $A$ 称为 反对称阵。

• 转置矩阵的运算性质

  1. $(A^T{)}^T=A$

  2. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$

  3. $(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$

  4. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$（穿脱原则）

2.2.6 方阵的行列式

• 定义：由 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 $A$ 的行列式，记作 $\det A$ 或 $|A|$。

  注意：方阵与行列式是两个不同概念，$n$ 阶方阵是 $n^2$ 个数按一定方式排列成的 数表，而 $n$ 阶行列式则是这个数表的数按一定的运算法则所确定的一个 数。

• 由 $A$ 确定的 $|A|$ 满足的运算规律

  1. $|A^T|=|A|$（行列式性质 1）

  2. $|\lambda A|={\lambda }^n|A|$

  3. $|AB|=|A||B|$

2.2.7 伴随矩阵

• 定义：行列式 $|A|$ 的各个元素的代数余子式 $|A_{ij}|$ 所构成的如下的矩阵 $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$ 称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵。

• 伴随矩阵满足的性质：

  $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

2.3 逆矩阵

2.3.1 定义

• 对于 $n$ 阶矩阵 $A$，如果有一个 $n$ 阶矩阵 $B$，使 $AB=BA=E$，则说矩阵 $A$ 是可逆的，并把矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，简称逆阵。

• 若矩阵 $A$ 是可逆的，那么 $A$ 的逆矩阵是唯一的。

• $A$ 的逆矩阵记作 $A^{-1}$，即若 $AB=BA=E$，则 $B=A^{-1}$。

2.3.2 相关定理

1. 若矩阵 $A$ 可逆，则 $|A|\ne 0$

2. 若 $|A|\ne 0$，则矩阵 $A$ 可逆，且 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

由定理 1 和 2 可知，$A$ 是可逆矩阵的充分必要条件是 $|A|\ne 0$，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。

推论：

1. 若 $AB=E$（或 $BA=E$），则 $B=A^{-1}$

2. 如果 $A$、$B$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $A^{-1}$、$A^T$、$\lambda A$ ($\lambda \ne 0$) 与 $AB$ 也可逆，且

   $(A^{-1}{)}^{-1}=A$

   $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

   $(\lambda A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }{A}^{-1}$

   $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

2.4 矩阵的初等变换与线性方程组

2.4.1 矩阵的初等变换

• 定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

  1. 对换两行（对换 $i$，$j$ 两行，记作 $r_i\leftrightarrow r_j$）；

  2. 以数 $k\ne 0$ 乘某一行中的所有元（第 $i$ 行乘 $k$，记作 $r_i\times k$）；

  3. 把某一行所有元的 $k$ 倍加到另一行对应的元上去（第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行上，记作 $r_i+k{r}_j$）.

  把定义中的 “行” 换成 “列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把 “$r$” 换成 “$c$”）

  矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。

• 显然，三种初等变换都是 可逆 的，且其逆变换是同一类型的初等变换：

  1. $r_i\leftrightarrow r_j$ 的逆变换是其本身

  2. $r_i\times k$ 的逆变换是 $r_i\times (\frac{1}{k})$（或记作 $r_i÷k$）

  3. $r_i+k{r}_j$ 的逆变换为 $r_i+(-k)r_j$（或记作 $r_i-k{r}_j$）

2.4.2 矩阵之间的等价关系

如果矩阵 $A$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $B$，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 行等价，记作 $A\stackrel{r}{\sim }B$；如果矩阵 $A$ 经有限次初等列变换变成矩阵 $B$，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 列等价，记作 $A\stackrel{c}{\sim }B$；如果矩阵 $A$ 经有限次初等变换变成矩阵 $B$，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\sim B$。

• 矩阵之间的等价关系具有下列性质：

  1. 反身性：$A\sim A$；

  2. 对称性：若 $A\sim B$，则 $B\sim A$；

  3. 传递性：若 $A\sim B$，$B\sim C$，则 $A\sim C$。

我们可以通过初等变换来将矩阵变换为 “阶梯形”，便于计算：

这些矩阵相互之间的关系可以用下图表示：

2.5 初等变换与矩阵乘法的关系

2.5.1 初等矩阵

• 定义：由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵。其中三种初等变换对应有三种初等矩阵

  1. 把单位矩阵中第 $i$，$j$ 两行对换（或第 $i$，$j$ 两列对换）

  2. 以数 $k\ne 0$ 乘单位矩阵的第 $i$ 行（或第 $i$ 列）

  3. 以 $k$ 乘单位矩阵的第 $j$ 行加到第 $i$ 行上或以 $k$ 乘单位矩阵的第 $i$ 列加到第 $j$ 列上

• 定理：设 $A$ 与 $B$ 为 $m\times n$ 矩阵，那么

  1. $A\stackrel{r}{\sim }B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$，使 $PA=B$；

  2. $A\stackrel{c}{\sim }B$ 的充分必要条件是存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使 $AQ=B$；

  3. $A\sim B$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ 及 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$，使 $PAQ=B$。

以上定理可以用初等矩阵与矩阵 $A$ 左乘与右乘证得，同时引出下面定义。

2.5.2 初等变换与矩阵乘法

• 性质：设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，对 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘相应的 $n$ 阶初等矩阵。

  

2.6 矩阵的秩

2.6.1 秩

• 定义：设在矩阵 $A$ 中有一个不等于 0 的 $r$ 阶子式 $D$，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那么 $D$ 称为矩阵 $A$ 的最高阶非零子式，数 $r$ 称为矩阵 $A$ 的秩，记作 $R(A)$。并规定零矩阵的秩等于 0

  矩阵 $A$ 的秩就是 $A$ 中非零子式的最高阶数

• 关于矩阵的秩有以下结论：

  

• 一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的，一个自然的想法是用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数，而两个等价的矩阵的秩相等。

• 矩阵的秩的性质：

  

2.6.2 结合秩判断线性方程组的解

3. 向量组的线性相关性

3.1 向量组及其线性组合

• 向量定义：

  $n$ 个有次序的数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，第 $i$ 个数 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量。

• 分量全为实数的向量称为实向量

• 分量为复数的向量称为复向量

• 向量分为行向量和列向量

• 向量组定义：若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

  

• 定理：向量 $b$ 能由向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A=(a_1,a_2,\cdots ,a_m)$ 的秩等于矩阵 $B=(b_1,b_2,\cdots ,b_m)$ 的秩。

  

  

• 定理：向量组 $B:b_1,b_2,\cdots ,b_l$ 能由向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 线性表示的充分必要条件是矩阵 $A=(a_1,a_2,\cdots ,a_m)$ 的秩等于矩阵 $(A,B)=(a_1,\cdots ,a_m,b_1,\cdots ,b_l)$ 的秩，即 $R(A)=R(A,B)$

  推论：向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$ 与向量组 $B:b_1,b_2,\cdots ,b_l$ 等价的充分必要条件是 $R(A)=R(B)=R(A,B)$

  

3.2 向量组的线性相关性

• 定义：给定向量组 $A:a_1,a_2,\cdots ,a_m$，如果存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$ 使 $k_1{a}_1+k_2{a}_2+\cdots +k_m{a}_m=0$，则称向量组 $A$ 是线性相关的，否则称它线性无关。

  

• 线性相关与线性无关有其几何意义：

  

• 线性相关与线性无关的判断非常重要：

  

  

• 定理：

  

3.3 向量组的秩

• 定义：设有向量组 $A$，如果在 $A$ 中能选出 $r$ 个向量 $a_1,a_2,\cdots ,a_r$ 满足：

  • 向量组 $A_0:a_1,a_2,\cdots ,a_r$ 线性无关；

  • 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果 $A$ 中有 $r+1$ 个向量的话）都线性相关；

  那么称向量组 $A_0$ 是向量组 $A$ 的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组。

  最大无关组所含向量个数 $r$ 称为向量组 $A$ 的秩，记作 $R_A$。

  

3.4 线性方程组的解的结构

• 基础解系

  

• 解的关系

  

3.5 向量空间

3.5.1 向量空间定义

• 设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的加法及数乘两种运算 封闭，那么就称集合 $V$ 为向量空间。

• 所谓 封闭，是指在集合 $V$ 中可以进行向量的加法以及数乘两种运算。具体地说，就是：若 $a\in V$，$b\in V$，则 $a+b\in V$；若 $a\in V$，$\lambda \in R$，则 $\lambda a\in V$。

3.5.2 向量空间的基的概念

相对应的 坐标 概念：

4. 相似矩阵及二次型

4.1 向量的内积、长度及正交性

4.1.1 向量的内积

• 内积具有下列性质：

  1. $[x,y]=[y,x]$

  2. $[\lambda x,y]=\lambda [x,y]$

  3. $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$

  4. 当 $x=0$ 时，$[x,x]=0$；当 $x\ne 0$ 时，$[x,x]>0$

4.1.2 向量的长度

• 向量长度具有下列性质：

  1. 非负性：当 $x\ne 0$ 时，$||x||>0$；当 $x=0$ 时，$||x||=0$

  2. 齐次性：$||\lambda x||=|\lambda |||x||$

4.1.3 正交向量组

• 当 $[x,y]=0$ 时，称向量 $x$ 和向量 $y$ 正交。

  

4.1.4 求规范正交基的方法

思路：基 $\Rightarrow) 正交基 $\Rightarrow) 规范正交基

4.1.5 正交矩阵及正交变换

4.2 方阵的特征值和特征向量

上面定义式可以进行以下推导：

特征值有以下相关结论：

设 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$

特征值与特征向量有以下定理：

4.3 相似矩阵

那么求相似变换矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=\Lambda$ 为对角矩阵，这就称为把矩阵 $A$ 对角化

4.4 对称矩阵的对角化

判断是否能够对角化：

对称矩阵对角化步骤：

4.5 二次型

4.5.1 二次型及其标准型

将二次型变成标准型：

4.5.2 矩阵合同

观察二次型的矩阵表示方式与合同的定义式，发现相同点。

4.5.3 化二次型为标准型

4.5.4 正定二次型

5. 线性空间与线性变换

5.1 线性空间的定义与性质

• 线性空间的性质：

  1. 零元素是唯一的，任意元素的负元素也是唯一的

  2. 如下等式成立：$0\cdot \alpha =0$，$(-1)\cdot \alpha =-\alpha$

  

  

  注意：一组向量要么线性相关要么线性无关，不存在第三种情况

5.2 维数、基与坐标

注意（基）：

注意（坐标）：

过渡矩阵：

5.3 坐标变换

5.4 线性变换

5.4.1 线性映射

• 概念：
  

  线性映射概念：

  

  相关性质：

  

5.4.2 线性映射的矩阵表示

5.4.2 线性变换的矩阵表示

线性变换概念：

线性变换的矩阵表示：

线性变换的运算：

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线代知识点总结

dulu~dulu 已于 2024-12-17 11:39:53 修改

本节是线代某些知识点总结，可能较零碎。

对于简单的知识点，例如 “两行对应成比例，行列式为 0" 就不讲了。暂时不举例题，有时间会继续补充！

一 初等行 / 列变换

1. 计算行列式时，行列变换都可

因为 $D=D^T$，所以不论动行 / 列都是等价的。> 变换规则：>> 1.“倍乘”：行列式的某行 (列) 乘某个元素 $k$。相应的，若行列式中某行 (列) 元素有公因子 $k$ ($k\ne 0$)，则 $k$ 可提到行列式外面，即：>> $|kA|=k^n|A|$ >> 2.“互换”：行列式中两行 (列) 互换，行列式变号。>> 3.“倍加”：某行 (列) 的 $k$ 倍加到另一行 (列)，行列式不变。

2. 求矩阵的秩时，行列变换都可

因为初等变换不改变某个矩阵非零子式的最高阶数，秩指的就是非零子式的最高阶数。> 初等变换的规则：>> 1.“倍乘”：一个非零常数乘矩阵矩阵的某一行 (列)。>> 2.“互换”：互换矩阵中某两行 (列) 的位置。>> 3.“倍加”：将矩阵的某一行 (列) 的 $k$ 倍加到令一行 (列)。>>注意：>> 某矩阵乘元素 $k$，是矩阵中的每个元素都乘 $k$，要与行列式区分。>> 也就是 $|kA|=k^n|A|$。

3. 解线性方程组时，仅能使用初等行变换

因为矩阵的每一种初等行变换都对应着线性方程组的同解变换，而作列变换会改变原来的方程。

4. 判定解的情况，单纯求 $r(A)$，$r(A,b)$ 的过程行列变换都可

注：将 $r(A,b)$ 化行阶梯求秩时，往往我们需要 同时得到 $r(A)$，如果想用列变换的话， 只能对 $A$ 单独列变换，千万不要将 $b$ 列和 $A$ 的列混合运算，这样 $r(A)$ 就不准了。（但 $r(A,b)$ 是准的）。

但是，如果涉及到求通解或唯一解，那么就只能做行变换化行阶梯了，所以建议一开始就只做行变换。>总结：求解的过程，就只进行 初等行变换化行阶梯 求秩，并且顺势化为行最简型求解 。

5. 求向量组极大无关组、线性表出关系，则仅行变换**

因为初等行变换不改变列向量组的线性表出关系。例如下图，$\beta$ 矩阵中，${\beta }_3={\beta }_2+{\beta }_1$，$\alpha$ 矩阵同样有这样的关系。

6. 求向量组的秩时，行列变换都可

求向量组的秩，其实最后会转化为求矩阵的秩，原理就是 “矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩”，所以求向量组的秩也是行列变换都可。

但是一般求向量组的秩后面会继续求解极大无关组 / 线性表出关系，这时只能做行变换，所以还是建议从开头就只使用行变换。

7. 求特征值时，行列变换都可

因为特征多项式本质上是行列式，求行列式时，行列都可以换。

8. 求特征向量时，仅做行变换

因为求特征向量时，本质是在解线性方程组，只能进行初等行变换。

9. 求逆矩阵时，对 $(A,E)$ 仅做初等行变换

因为以 $A^{-1}$ 左乘 $A$ 得到 $E$，以 $A^{-1}$ 左乘 $E$ 得到 $A^{-1}$，以 $A^{-1}$ 左乘的过程就是做初等行变换的过程。

所以怎么体现 $A$ 和 $E$ 做了完全一样的 $A^{-1}$ 所带来的初等行变换，就是将 $A$，$E$ 横着拼在一起，此时做的初等行变换就是同步的了。

总结：

除了① 求行列式的值（求特征值本质上就是求行列式的值）和 ② 单纯求秩，行列变换都可，其余情况通通只做行变换。

二 要牢记

先写那么多，后面有再补充：

一些推导：

对于 $AB\ne BA$ 的补充：

在 $AB\ne BA$ 的情况下，只能写成 $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$

1. 矩阵的逆

推导如下：

初等矩阵的逆：

2. 矩阵的伴随

三 某某子式

1. 余子式

在 $n$ 阶行列式中，去掉元素 $a$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。

2. 代数余子式

余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1{)}^{i+j}$ 后称为 $a$ 的代数余子式，记作 $A_{ij}$

3. $k$ 阶子式

给定一个矩阵，任取 $k$ 行，任取 $k$ 列，共 $k^2$ 个数构成的行列式，出现在矩阵的秩中，定义如下：

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则若存在 $k$ 阶子式不为零，而任意 $k+1$ 阶子式（如果有的话）全为零，则 $r(A)=k$，且若 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，则：

4. $k$ 阶主子式

指在行列式中选 $k$ 行 $k$ 列，但要求行和列的下标相同。如：行为 $r_1$、$r_2$、$r_3$，列必须为 $c_1$、$c_2$、$c_3$；行为 $r_2$、$r_3$、$r_5$，列必须为 $c_2$、$c_3$、$c_5$。因此，$k$ 阶主子式不唯一。

这在矩阵相似会用到，下面会讲。

5. 顺序主子式

顺序主子式是在主子式上再加限定，顺序主子式是由 1~$k$ 行和 1~$k$ 列所确定的子式。>例如：>> 1 阶时：取第 1 行，第 1 列>> 2 阶时：取第 1、2 行，第 1、2 列>> 3 阶时：取第 1、2、3 行，第 1、2、3 列>> 4 阶时：取第 1、2、3、4 行，第 1、2、3、4 列>> 实际上，主子式的主对角线元素是原 $n$ 阶行列式的主对角线元素的一部分，且顺序相同。>> 所以 $k$ 阶主子式是不唯一的，而 $k$ 阶顺序主子式是唯一的。

用在判断 二次型正定上，下面会讲。

四 矩阵的秩

① 0 ≤ r ( A ) ≤ min ⁡ { m , n } 0 \leq r(A) \leq \min\{m, n\} 0≤r(A)≤min{m,n}

② $r(kA)=r(A)$ ($k\ne 0$)

③ r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}

④ $r(A+B)\le r(A)+r(B)$

⑤

$r(A)=n-1$，$r(A^{\ast })=1$ 的证明：

进而可得出一个重要结论：>$A_{m\times n}{B}_{n\times s}=0$，则 $r(A)+r(B)\le n$**

所以，看到 $A\times B$ 就要想到两个结论：

⑥ 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$P$，$Q$ 分别是 $m$ 阶，$n$ 阶可逆矩阵，则> $r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$

⑦ $r(A)=r(A^T)=r(A{A}^T)=r(A^{T}A)$

关于⑤的例题：

为什么 $Ax=b$ 有 $n-r+1$ 个线性无关的解：

五 常用特征值与特征向量

针对 $P^{-1}AP=B$，如果知道 $B$ 的特征值和特征向量，想要反求 $A$ 的特征值特征向量，结论：
特征值不变，特征向量为 $P\xi$
证明过程：

注意这样一道例题：

关于特征值的一些提示：

六 矩阵，向量组，方程组

矩阵，向量组

① 向量组是由有限个相同维数的行向量或者列向量组成，其中向量是由 $n$ 个实数组成的有序数组，是一个 $n\times 1$ 的矩阵 ($n$ 维列向量) 或是一个 $1\times n$ 的矩阵 ($n$ 维行向量)。

② 矩阵是由 $m\times n$ 个数排列成 $m$ 行 $n$ 列的数表。
一个向量组可以看作是一个矩阵的列（或行）向量集合。如果一个矩阵有 $n$ 列，那么这 $n$ 列就可以看作是一个由 $n$ 个向量组成的向量组。反过来，一个矩阵也可以看作是由其列（或行）向量组成的向量组。

1. 怎么判断两个矩阵等价

矩阵等价的前提：$A$ 与 $B$ 是 ** 同型 **矩阵，即 $A$，$B$ 行数，列数相同>> 矩阵等价的 充要条件：
① $r(A)=r(B)$
② $PAQ=B$，$P$，$Q$ 可逆

2. 怎么判断两个向量组是等价向量组

向量组等价的前提：$A$，$B$ 矩阵 ** 同维 **>> 若 $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})$>> 向量组等价的 充要条件：
① $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})$，且 (Ⅰ) 可由 (Ⅱ) 线性表出（单向表出即可）
② $r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ})$，且 (Ⅱ) 可由 (Ⅰ) 线性表出（单向表出即可）
③ $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})$，且 (Ⅰ) 可由 (Ⅱ) 线性表出（单向表出即可）
④ $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})$，即>> $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})$
⑤ Ⅰ 和 Ⅱ 能够相互线性表示。

总结

① 两个矩阵 $A$ 与 $B$ 等价指的是 $A$ 可以通过有限次初等变换变成 $B$。两个不同型矩阵是不可能等价的。
② 两个向量组等价只指的是它们能够互相线性表示，它们各自所含向量的个数可能是不一样的。
③ 两个向量组等价，一个线性无关，另一个不一定线性无关。

例题：

D. 即使 Ⅰ 和 Ⅱ 同为 $n$ 维向量组，但是 $s$ 与 $t$ 的关系未知，也就是行数相等，列数未知，所以 $A$，$B$ 两个矩阵可能不同型，不能等价。>> B. (Ⅰ) 可由（Ⅱ）表示，缺少其他条件，如果 ① 加上 (Ⅱ) 可由 (Ⅰ) 线性表出 或者 ② $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})$ 就对了>> C 正确>> D $r(A)=r(B)$，只能推出两个向量组秩相同，缺少其他条件，如果加上 ① 加上 (Ⅱ) 可由 (Ⅰ) 线性表出 或者 ② 加上 (Ⅰ ) 可由 (Ⅱ) 线性表出或者③ $r(\text{Ⅰ})=r(\text{Ⅱ})=r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ})$，就对了。

3. 矩阵和向量等价的比较

例题：

A. (${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,0$) 能与 (${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$) 相互线性表示，但是 (${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,0$) 不是 $Ax=0$ 的基础解系>> B. 基础解系一定是线性无关的，但是 B 选项 3 个向量是线性相关的（3 个向量相加 = 0）>> C. 像上面举的例子一样，$${\alpha }_1{\alpha }_2，$\beta_1 \beta_2$ 等秩，但是 ${\alpha }_1{\alpha }_2$ 与 ${\beta }_1{\beta }_2$ 不能相互线性表示。
D.

在 (${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$) 的右边乘可逆矩阵，不改变原来矩阵的秩，且 ( ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ ) 与 (${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$) 能相互线性表示>>所以，求 $Ax=0$ 的另一个基础解析，需要满足与 (${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$) 等价且等秩。

4. 同解方程组

若两个方程组 $A_{m\times n}x=0$ 与 $B_{s\times n}x=0$ 有完全相同的解，则称它们为同解方程组

充要条件：
① $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$，且 $Bx=0$ 的解满足 $Ax=0$（互相把解代入求出结果即可）

② $r(A)=r(B)$，且 $Ax=0$ 的解满足 $Bx=0$（或 $Bx=0$ 的解满足 $Ax=0$）

③ $r(A)=r(B)=r\left(\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right]\right)$（三秩相同）

如果是齐次线性方程组，那么 $A$，$B$ 是同解方程组，若是非齐次那么就不对了。

例 1：

例 2：

例 3：

七 齐次线性方程组和非齐次线性方程组

齐次线性方程组有解的条件：

① $r(A)=n$ 时，方程组有 唯一零解。

② $r(A)=r<n$ 时，方程组有非零解（无穷多解），且有 $n-r$ 个线性无关解>>齐次方程组其实就是解和系数的正交，例如，给你一个条件：
${\alpha }_1=2{\alpha }_2+{\alpha }_3$---->${\alpha }_1-2{\alpha }_2-{\alpha }_3+0{\alpha }_4=0$

则 $(1,-2,-1,0)$ 就是齐次方程组的基础解系

非齐次线性无关组有解的条件：

① 若 $r(4)\ne r([A,b])$，则方程组无解；

② 若 $r(A)=r([A,b])=n$，则方程组有唯一解；

③ $r(A)=r([A,b])=r<n$，则方程组有无穷多解。

非齐次方程组的通解的求法：

① 求 $Ax=0$ 的解

② 求 $Ax=b$ 的一个特解

③ 非齐次方程组的通解 = 齐次方程组的解 + 一个非齐次的特解

如果 $A$ 行满秩，则 $r(A)=r(A|b)$，那么方程组一定有解。

如果 $A$ 列满秩，则 $r(A)$ 与 $r(A|b)$ 的关系不确定：

① $r(A)<r(A|b)$，则无解
② $r(A)=r(A|b)<n$，有无穷多解
③ $r(A)=r(A|b)=n$，有唯一解

非齐次方程组解的性质：> 若 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解，$\xi$ 是对应齐次方程组 $Ax=0$ 的解，则：
(1) ${\eta }_1-{\eta }_2$ 是 $Ax=0$ 的解；
(2) $k\xi +\eta$ 是 $Ax=b$ 的解

扩展：

解释：

1. $p$ 个解的任意组合，都是齐次线性方程组的解
2. 非齐次的解线性组合也能得到齐次线性方程组的解，但是需要满足 $k_1+k_2+\cdots +k_p=0$，例如，${\alpha }_1-{\alpha }_2$（1 - 1 = 0），${\alpha }_1-{\alpha }_2$ 就是齐次线性方程组的解。
3. 非齐次的解线性组合也能得到非齐次线性方程组的解，但是需要满足 $k_1+k_2+\cdots +k_p=1$，例如，$({\alpha }_1+{\alpha }_2)/2$，就是非齐次线性方程组的一个解。
4. 齐次线性方程组的解与非齐次线性方程组的解相加，得到的是非齐次线性方程组的解。
5. $r(A)=r$，$A$ 就有 $n-r$ 个线性无关的解，而 $x_1,x_2,\dots ,x_{n-r}$ 刚好是 $Ax=0$ 的 $n-r$ 个线性无关解，所以>> $k_1{x}_1+k_2{x}_2+\cdots +k_{n-r}{x}_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的解。

例题：

A. ${\alpha }_1-{\alpha }_2$ 是组合系数是 1 - 1 = 0，${\alpha }_1-{\alpha }_2$ 是 $Ax=0$ 的解
B. $3{\alpha }_1-2{\alpha }_2$ 是 $Ax=b$ 的解，C, D 同理。

八 对比记忆

1.

矩阵 $A$ 的 $\text{tr}(A)$：$\text{tra}(A)=$ 矩阵 $A$ 的迹 $=$ 对角线元素之和

2. 对于秩为 1 的 $n$ 阶矩阵 $A$ 或 $A=\alpha {\beta }^T$（或 ${\beta }^T\alpha$）（$\alpha$，$\beta$ 都是 $n$ 维非零列向量），其特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=\cdots ={\lambda }_{n-1}=0$，${\lambda }_n={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}={\beta }^T\alpha$（或 ${\alpha }^T\beta$）

3.

例题 1：

例题 2：

九 相似与正交

存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$，则称 $A$ 相似于 $B$，记为 $A\sim B$

若 $A\sim B$

① $|A|=|B|$

② $r(A)=r(B)$

③ $\text{tr}(A)=\text{tr}(B)$

④ ${\lambda }_A={\lambda }_B$（$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$）

⑤ $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$

⑥ $A$，$B$ 各阶主子式之和分别相同

也就是说，$A$ 与 $B$ 即使特征值相同，但也不一定相似。但是如果 $A$，$B$ 都是实对称矩阵，那么相似，则一定特征值相同（实对称矩阵一定能相似对角化，特征值相同一定能相似于同一个对角矩阵，根据传递性 $A\sim B$）。

如何判定矩阵相似

① 定义法

存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$

② 传递法

$A\sim \Lambda$，$\Lambda \sim B$，则 $A\sim B$，其中 $\Lambda$ 为对角阵

这就要说到矩阵的相似对角化

矩阵可相似对角化的条件：

充要条件：

① $n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化 $\iff$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

② $n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化 $\iff$ $A$ 对应于每个 $k$ 重特征值都有 $k$ 个线性无关的特征向量

必要条件：

③ $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同特征值 $\Rightarrow$ $A$ 可相似对角化

④ $n$ 阶矩阵为 实对称矩阵 $\Rightarrow$ $A$ 可相似对角化

对于矩阵相似对角化的步骤：

① 求特征值

② 求特征向量

③ 正交化（如果需要的话），单位化 ${\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3,\dots ,{\eta }_n$

④ 令 $Q=[{\eta }_1,{\eta }_2,{\eta }_3,\dots ,{\eta }_n]$，则 $Q$ 为正交矩阵，且 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

上面提到了实对称矩阵，实对称矩阵就是组成 $A$ 的元素都是实数。对于实对称矩阵（$A^T=A$）要记住：

对于正交，需要记住：

① ${\alpha }^T\beta =0$，则 $\alpha$，$\beta$ 是正交向量

② 若满足 $A^{T}A=E$，则 $A$ 是正交矩阵

$A^{T}A=E\iff A^{-1}=A^T$

③ 若 $A$ 为正交矩阵，则 $A^T$ 为正交矩阵，$A^{-1}$ 为正交矩阵，$A^{\ast }$ 为正交矩阵，$-A$ 为正交矩阵

④ 若 $A$，$B$ 为同阶正交矩阵，则 $AB$ 为正交矩阵，$A+B$ 不一定为正交矩阵

⑤ 若 $A$ 为正交矩阵，则其特征值的取值范围为 { − 1 , 1 } \{-1, 1\} {−1,1}

在易错知识点有补充。

例题：

不可对角化的矩阵怎么判断相似：

例题：

如果 $A$ 与 $B$ 相似，那么：
对于任意实数 $k$ 和整数 $n$，有 $(A+kE{)}^n$ 与 $(B+kE{)}^n$ 相似
对于上面这道题，取 $k=-1$，$n=1$，判断哪两个矩阵相似。

矩阵相似还可得出：

① $A\sim B$，$A^k=B^k$，$f(A)=f(B)$

② 若 $A\sim B$，且 $A$ 可逆，则 $A^{-1}\sim B^{-1}$，$f(A^{-1})=f(B^{-1})$

③ 若 $A\sim B$，$A^{\ast }\sim B^{\ast }$

④ 若 $A\sim B$，$A^T\sim B^T$

注：

提醒：

再次提醒，矩阵等价怎么判定：

设 $A$，$B$ 均为 $m\times n$ 矩阵，若存在可逆矩阵 $P_{m\times n}$，$Q_{m\times n}$，使得 $PAQ=B$，则 $A$，$B$ 是等价矩阵。若 $A$，$B$ 是同型矩阵，则 $A$ 与 $B$ 等价的充分必要条件是 $r(A)=r(B)$

十 实对称矩阵

实对称矩阵中不同特征值对应的特征向量相互正交。

实对称矩阵可以用正交矩阵相似对角化，这是必然的。

要与合同区别，合同：对于实对称矩阵 $A$，必存在可逆矩阵 $C$，使得 $C^{T}AC=\lambda$，$\lambda$ 对角矩阵，这里的 $C$ 不是 $A$ 的特征向量，$\lambda$ 也不是 $A$ 的特征值。

若普通矩阵能相似对角化，能不能用正交矩阵相似对角化？

对于 $n$ 阶实对称矩阵，$n$ 个线性无关的特征向量即使不正交，也可以通过施密特正交实现正交化，再单位化得到正交矩阵。那普通矩阵可以相似对角化，他也有 $n$ 个线性无关的特征向量，其特征向量是否可以正交化，单位化，再用得到的正交矩阵 $Q$ 进行相似对角化？

答案是否定的。

1. $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵的充分必要条件为：$A$ 有 $n$ 个正交的特征向量。

为什么不能是普通矩阵

例题：

2. $A$ 为实对称矩阵的则 $A^{\ast }$ 为实对称矩阵，反过来不对。

十一 合同

设 $A$，$B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $C$，使得 $C^{T}AC=B$，则称 $A$ 与 $B$ 合同，即 $A\cong B$。$A$ 与 $B$ 合同，就是指同一个 二次型 在 可逆线性变换 下的两个不同状态的联系。

注：由于我们已经规定，对称矩阵才是二次型矩阵，所以二次型矩阵都是对称矩阵，相应的和对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵。

例题：

十二 二次型

关于二次型化标准型或规范型的方法：配方法，正交变化有总结如下：

所以我们可以进一步得到

等价，合同和相似的关系：

注：相似一定合同的前提条件是 $A$，$B$ 都是实对称矩阵

例题：

关于配方法和正交变换分别给一个例题：

配方法：

正交变换：

① 若 ${\lambda }_1={\lambda }_2$，那么两个同一特征值对应的特征向量需要正交化，如果本来就正交可以不做这一步，所以在计算特征值的时候，可以将两个特征向量写为正交的，这样就免去了施密特正交化，直接进入单位化即可。
② ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\ne {\lambda }_3$，那么不用进行施密特正交，直接单位化即可。

常见题型：

这里记录一个例题：

若二次型中只有混合项，没有平方项，要怎么做？

两类典型大题：【线代救命 #6】一个视频彻底搞懂二次型 ！！_哔哩哔哩_bilibili

如果两个矩阵相似，那么可以直接用标准型作为桥梁，无需化为规范型：

如果两个矩阵不相似，那么只能用规范型作为桥梁，因为两个矩阵合同，规范型是唯一的：

十三 二次型正定

二次型正定的充要条件：
$n$ 元二次型 $f=x^{T}Ax$ 正定 $\iff$ 对任意 $x\ne 0$，有 $x^{T}Ax>0$（定义）
① $\iff$ $f$ 的正惯性指数 $p=n$
② $\iff$ 存在可逆矩阵 $D$，使得 $A=D^{T}D$
③ $\iff$ $A\cong E$，$A$ 与 $E$ 合同
② ③ 推导：

④ $\iff$ $A$ 的特征值 $\lambda >0$
⑤ $\iff$ $A$ 的全部顺序主子式 > 0

二次型正定的必要条件：

① $a_{ii}>0$，对角线元素全部大于 0

② $|A|>0$

最好是使用充要条件 ① ④ ⑤ 判断二次型是否正定，如果非要用定义法，来看个例题：

注意上题，不能直接将 $f$ 判定为正定：

因为将二次型化为标准型的过程一定要做可逆线性变换

例题 1：

例题 2：

看到这种平方和形式的二次型，要想到他一些性质：

平方和形式的二次型（重要）：

例题：

答案 C，由于二次型矩阵正定，则 $r(B)$ 满秩，进而推出 $|B|\ne 0$

注意一定要是平方和，下面这个就不是，就只能用开头讲的特征值法，配方法和合同变换：

关于正定的重要结论：

十四 秩 1 矩阵的性质（重要）

假设 $A$ 是一个秩为 1 的矩阵，$\alpha$ 与 $\beta$ 为列向量，且 $\alpha {\beta }^T=\beta {\alpha }^T=A$

1. 如果一个矩阵能由一个列向量 $\times$ 一个行向量表示，那么这个矩阵秩一定为 1，即 $r=1$。同样，一个秩为 1 的矩阵，可以拆成一个列向量 $\times$ 一个行向量，并且表示方法不唯一。

2. 矩阵 $A$ 的迹（对角线的和）= ${\alpha }^T\beta ={\beta }^T\alpha$，也就是内积

同时，$|A|=$ 对角线元素的乘积

3. $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=\text{tr}(A)$，其余特征值全部为 0

4. $A$ 的特征向量：

对于 ${\lambda }_1=\text{tr}(A)$ 对应的特征向量：

$A=\beta {\alpha }^T$ --> $A\beta =\beta {\alpha }^T\beta =\text{tr}(A)\cdot \beta$，所以 ${\lambda }_1=\text{tr}(A)$，特征向量为 $k\beta$，$k\ne 0$

也就是说 ${\lambda }_1=\text{tr}(A)$ 对应的特征向量是组成 $A$ 矩阵前面的列向量。

对于 $\lambda =0$ 对应的特征向量：

$A\alpha =\lambda \alpha$ --> $A\alpha =0$，即求 $AX=0$ 的齐次解，就是 $\lambda =0$ 对应的特征向量

5. $\text{tr}(A)$ 是 1 重特征值，0 是 $n-1$ 重特征值

① $\text{tr}(A)\ne 0$，$r(A)=n-r=n-1$，所以当 $\text{tr}(A)\ne 0$ 时，秩 1 矩阵一定能相似对角化

② $\text{tr}(A)=0$，这时 0 是 $n$ 重特征值：

$r(A)=n-r=n-1\ne n$，所以不能相似对角化

6. $A^n=\text{tr}(A{)}^{n-1}A$

例题 1：

例题 2：

补充：其他特殊矩阵

幂零矩阵：3 阶矩阵：$A^3=0$，4 阶矩阵：$A^4=0$

十五 关于 $aB+Ba$（重要）

十六 同解和向量组等价

首先排除 A, C，只有行向量才和方程组的解有关系。由于 A 可由 B 线性表出，B 更具有代表性，约束更多，D 正确。
 

注：列向量组等价不能推出同解，行向量组等价才能推出同解。经过列变换，列向量组等价，但此时方程组的结构已经发生改变，所以解方程组只能行变换。

行向量组等价是向量组等价与方程通解的桥梁。
 

24 年数二：

由方程组 $Ax=0$ 的解均是 $B^{T}x=0$ 的解，得 $Ax=0$ 与 $\left[\begin{array}{c}A\\ B^T\end{array}\right]$ $x=0$ 通解。利用 $r(A)=r\left(\left[\begin{array}{c}A\\ B^T\end{array}\right]\right)$ 就很好做

十七 从 $A$ —> $A^{-1}$ 原理

$A$ 和 $E$ 同时做初等行变换，在 $A$ 化作 $E$ 的同时，$E$ 变为 $A^{-1}$

例题：

$A$ 经过一系列初等行变换可变为下三角矩阵，而变化的过程就被记录在了画圈圈的部分，即画圈圈部分为 $P$

再经过初等列变换，可使 $PAQ$ 为对角矩阵

十八 分块矩阵的初等变换

①

② 做行变换时左乘，做列变换时右乘。
③

例题：

十九 看到就要想到

 

对于（1）补充一点，记住即可。

（4）的证明如下：

补充：

1.

$A_{ij}=a_{ij}$ --> $A^T=A$

$A_{ij}+a_{ij}=0$ --> $A^T=-A$

除此之外，还能得到 $A$ 是一个正交矩阵：

① $P^{T}AP=B$，所以 $A$ 与 $B$ 一定等价，且合同

② 看了上面，这里不告诉我们 $P$ 可逆，我们也应该知道 $P$ 矩阵可逆。$P^T=P^{\ast }$，$P$ 是正交阵，所以 $A$ 与 $B$ 相似。

2.

以下两题来自：

【线代救命 #5】一个视频带你拿捏矩阵相似，出题老头汗流浃背！_哔哩哔哩_bilibili

看这题需要直到，正交矩阵 $Q$ 的特征值只能是 1 或 -1（{-1，1}）

3.

求 $A^{\ast }x=0$ 的全部解：

对应这道题：

4. $A$ 与 $A^T$ 特征值不同，特征向量正交（重要）

相似地，可以证明 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交。

5. $A$ 可相似对角化

答案：D

6. $AB$ 与 $BA$ 的非零特征值相同。

由于 $AB$ 与 $BA$ 的非零特征值相同，所以 $AB$ 的其中两个特征值为 1，1

又因为：

所以答案：1，1，0

二十 易错

分块矩阵

分块矩阵转置

分块矩阵求逆：副对角线求逆，分别求逆，并且对调

主副对角线求逆：

二阶求伴随：主对调，副变号

这里应该是 $AB=0$ 不能推出 $A=0$ 或 $B=0$

做题常犯错误：

1. 虽然 $A^T$ 的特征值与 $A$ 相同，但特征向量不再是 $\xi$，要单独计算才能得出，要求 $A^T$ 的特征值，只能先将 $A$ 转置，然后再求特征值。
   

   但是有一个性质：
    
   $A^T$ 与 $A$ 属于不同特征值的特征向量正交。
    

2. ${\lambda }^2=1$，$\lambda =\pm 1$，只能说 $A$ 的特征值取值范围是 ${1, -1})

   

所以进一步可以解释这一段：

若 $A$ 为正交矩阵，则其特征值的取值范围为 ${-1, 1})

25 合工大卷五 9：

答案：B

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补充：

反对称矩阵的性质

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Ref 1 / 3

• 线性代数 | 知识点整理 Ref 1-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/u013669912/article/details/147263380

• 线性代数 | 知识点整理 Ref 3-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/u013669912/article/details/147253667

via：

• 【数学】线性代数知识点总结-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/weixin_52924460/article/details/142375463

• 线代知识点总结_线性代数-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/weixin_69884785/article/details/139663333