数据结构与算法(十二)：图的应用-最小生成树-Prim/Kruskal

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一、最小生成树

1.连通图的⽣成树定义

所谓⼀个连通图的⽣成树是⼀个极⼩的连通⼦图，它含有图中全部的n个顶点，但只⾜以构成⼀颗树的n-1条边。

定义解读: 满⾜以下3个条件则为连通图的⽣成树:

• 1.图是连通图;
• 2.图中包含了N个顶点;
• 3.图中边的数量等于N-1条边.

判断是否为 连通图的⽣成树

2.最小生成树的方案

题目：假设⽬前有N 个顶点，每个顶点连接的路径不⼀样。请你设计⼀个算法，快速找出能覆盖所有顶点的路径。

可理解为往村里每家每户(顶点)去拉网线，以最小的成本去覆盖每一个顶点，权值代表了所耗费的网线长度，那我们上图的路径应该怎么走？

方案一路径

方案二路径

方案三路径

使用算法能精准计算出⽹图的最佳⽅案了？
最⼩⽣成树: 把构成连通⽹的最⼩代价的⽣成树称为最⼩⽣成树。

二、最⼩⽣成树-普⾥姆(Prim)算法

无向网图的存储示意图

从V0开始出发，经历第八次找到最优的最⼩⽣成树：

• 算法思路：
  1.定义2个数组; adjvex ⽤来保存相关顶点下标; lowcost 保存顶点之间的权值
  2.初始化2个数组, 从v0开始寻找最⼩⽣成树, 默认v0是最⼩⽣成树上第⼀个顶点
  3.循环lowcost 数组,根据权值,找到顶点 k;
  4.更新lowcost 数组
  5.循环所有顶点,找到与顶点k 有关系的顶点. 并更新lowcost 数组与adjvex 数组;

• 注意:
  更新lowcost 数组与adjvex 数组的条件:
  1.与顶点k 之间有连接
  2.当前结点 j 没有加⼊过最⼩⽣成树;
  3.顶点 k 与 当前顶点 j 之间的权值 ⼩于 顶点j 与其他顶点 k 之前的权值. 则更新.
  简单说就是要⽐较之前存储的值要⼩,则更新;

使用邻接矩阵实现：

• 1.创建邻接矩阵

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"#include "math.h"
#include "time.h"#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535typedef int Status;    /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */typedef struct
{int arc[MAXVEX][MAXVEX];int numVertexes, numEdges;
}MGraph;/*9.1 创建邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)/* 构件图 */
{int i, j;/* printf("请输入边数和顶点数:"); */G->numEdges=15;G->numVertexes=9;for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */{for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++){if (i==j)G->arc[i][j]=0;elseG->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;}}G->arc[0][1]=10;G->arc[0][5]=11;G->arc[1][2]=18;G->arc[1][8]=12;G->arc[1][6]=16;G->arc[2][8]=8;G->arc[2][3]=22;G->arc[3][8]=21;G->arc[3][6]=24;G->arc[3][7]=16;G->arc[3][4]=20;G->arc[4][7]=7;G->arc[4][5]=26;G->arc[5][6]=17;G->arc[6][7]=19;// 无向图对称for(i = 0; i < G->numVertexes; i++){for(j = i; j < G->numVertexes; j++){G->arc[j][i] =G->arc[i][j];}}}

• 2.Prim算法

/* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{int min, i, j, k;int sum = 0;/* 保存相关顶点下标 */int adjvex[MAXVEX];/* 保存相关顶点间边的权值 */int lowcost[MAXVEX];/* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 *//* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */lowcost[0] = 0;/* 初始化第一个顶点下标为0 */adjvex[0] = 0;//1. 初始化for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)    /* 循环除下标为0外的全部顶点 */{lowcost[i] = G.arc[0][i];    /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */adjvex[i] = 0;                    /* 初始化都为v0的下标 */}//2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点kfor(i = 1; i < G.numVertexes; i++){/* 初始化最小权值为∞， *//* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */min = INFINITYC;j = 1;k = 0;while(j < G.numVertexes)    /* 循环全部顶点 */{/* 如果权值不为0且权值小于min */if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min){/* 则让当前权值成为最小值,更新min */min = lowcost[j];/* 将当前最小值的下标存入k */k = j;}j++;}/* 打印当前顶点边中权值最小的边 */printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);sum+=G.arc[adjvex[k]][k];/* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */lowcost[k] = 0;/* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点1. 与顶点k 之间连接;2. 该结点没有被加入到生成树;3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;*/for(j = 1; j < G.numVertexes; j++){/* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]){/* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */lowcost[j] = G.arc[k][j];/* 将下标为k的顶点存入adjvex */adjvex[j] = k;}}}printf("sum = %d\n",sum);
}int main(void)
{printf("Hello,最小生成树_Prim算法\n");MGraph G;CreateMGraph(&G);MiniSpanTree_Prim(G);return 0;}

三、最⼩⽣成树-克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

• 算法思路：
  1.将邻接矩阵 转化成 边表数组;
  2.对边表数组根据权值按照从⼩到⼤的顺序排序;
  3.遍历所有的边, 通过parent 数组找到边的连接信息; 避免闭环问题;
  4.如果不存在闭环问题,则加⼊到最⼩⽣成树中. 并且修改parent 数组。

以每条边的权值做升序构建出边表数组：

注意：begin和end是顶点数组的下标（begin永远比end小）。

• 1.定义数据结构

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"#include "math.h"
#include "time.h"#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535typedef int Status;
typedef struct
{int arc[MAXVEX][MAXVEX];int numVertexes, numEdges;
}MGraph;/* 对边集数组Edge结构的定义 */
typedef struct
{int begin; // 顶点较小下标int end; // 顶点较大下标int weight; // 边的权值
}Edge ;

• 2.创建邻接矩阵

/*9.1 创建邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{int i, j;/* printf("请输入边数和顶点数:"); */G->numEdges=15;G->numVertexes=9;for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */{for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++){if (i==j)G->arc[i][j]=0;elseG->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;}}G->arc[0][1]=10;G->arc[0][5]=11;G->arc[1][2]=18;G->arc[1][8]=12;G->arc[1][6]=16;G->arc[2][8]=8;G->arc[2][3]=22;G->arc[3][8]=21;G->arc[3][6]=24;G->arc[3][7]=16;G->arc[3][4]=20;G->arc[4][7]=7;G->arc[4][5]=26;G->arc[5][6]=17;G->arc[6][7]=19;for(i = 0; i < G->numVertexes; i++){for(j = i; j < G->numVertexes; j++){G->arc[j][i] =G->arc[i][j];}}}

• 3. Kruskal算法

/* 交换权值以及头和尾 */
void Swapn(Edge *edges,int i, int j)
{int tempValue;//交换edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值tempValue = edges[i].begin;edges[i].begin = edges[j].begin;edges[j].begin = tempValue;//交换edges[i].end 和 edges[j].end 的值tempValue = edges[i].end;edges[i].end = edges[j].end;edges[j].end = tempValue;//交换edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值tempValue = edges[i].weight;edges[i].weight = edges[j].weight;edges[j].weight = tempValue;
}/* 对权值进行排序 */
void sort(Edge edges[],MGraph *G)
{//对权值进行排序(从小到大)int i, j;for ( i = 0; i < G->numEdges; i++){for ( j = i + 1; j < G->numEdges; j++){if (edges[i].weight > edges[j].weight){Swapn(edges, i, j);}}}printf("边集数组根据权值排序之后的为:\n");for (i = 0; i < G->numEdges; i++){printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);}}/* 查找连线顶点的尾部下标 */
//根据顶点f以及parent 数组,可以找到当前顶点的尾部下标; 帮助我们判断2点之间是否存在闭环问题;
int Find(int *parent, int f)
{while ( parent[f] > 0){f = parent[f];}return f;
}/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{int i, j, n, m;int sum = 0;int k = 0;/* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/int parent[MAXVEX];/* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */Edge edges[MAXEDGE];/*1. 用来构建边集数组*/for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++){for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++){//如果当前路径权值 != ∞if (G.arc[i][j]<INFINITYC){//将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.edges[k].begin = i;edges[k].end = j;edges[k].weight = G.arc[i][j];//边集数组计算器k++;k++;}}}//2. 对边集数组排序sort(edges, &G);//3.初始化parent 数组为0. 9个顶点;// for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)for (i = 0; i < MAXVEX; i++)parent[i] = 0;//4. 计算最小生成树printf("打印最小生成树：\n");/* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/for (i = 0; i < G.numEdges; i++){//获取begin,end 在parent 数组中的信息;//如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.n = Find(parent,edges[i].begin);m = Find(parent,edges[i].end);//printf("n = %d,m = %d\n",n,m);/* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */if (n != m){/* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 *//* 表示此顶点已经在生成树集合中 */parent[n] = m;/*打印最小生成树路径*/printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);sum += edges[i].weight;}}printf("sum = %d\n",sum);
}int main(int argc, const char * argv[]) {printf("Hello,最小生成树_Kruskal算法\n");MGraph G;CreateMGraph(&G);MiniSpanTree_Kruskal(G);return 0;
}

最后编辑于：2025-04-09 20:08:03

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