线性代数-矩阵的秩

矩阵的秩（Rank）是线性代数中的一个重要概念，表示矩阵中线性无关的行（或列）的最大数量。它反映了矩阵所包含的“有效信息”的维度，是矩阵的核心特征之一。

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直观理解

1. 行秩与列秩：
   • 行秩：矩阵中线性无关的行向量的最大个数。
   • 列秩：矩阵中线性无关的列向量的最大个数。
   • 关键性质：对任意矩阵，行秩 = 列秩，因此统称为“秩”。
2. 几何意义：
   • 秩描述了矩阵对应的线性变换后空间的维度。例如：一个3×3矩阵的秩为2，表示它将三维空间压缩到一个二维平面。

计算方法

1. 初等变换法：
   • 通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形（REF），非零行的数量即为秩。
   • 示例：非零行有2行，故秩为2。求解矩阵秩demo
     $$\left[\begin{array}{lll}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
2. 行列式法（仅适用于方阵）：
   • 矩阵的秩是其最高阶非零子式的阶数。例如，若存在一个2阶子式不为零，但所有3阶子式为零，则秩为2。

重要性质

1. 秩的范围：

   • 对于 $m\times n$ 矩阵，$0\le rank(A)\le min(m,n)$
   • 若秩达到最大值$min(m,n)$，称矩阵为满秩矩阵。

2. 与线性方程组的关系：

   • 有解条件：方程组 $Ax=b$ 有解当且仅当 $\text{rank}(A)=\text{rank}([A|b])$。
   • 解的个数：
     • 若 $\text{rank}(A)=n$（未知数个数），则唯一解。
     • 若 $\text{rank}(A)<n$，则有无穷多解（自由变量存在）。

3. 矩阵运算的影响：

   • $\text{rank}(A+B)\le \text{rank}(A)+\text{rank}(B)$
   • $\text{rank}(AB)\le \min (\text{rank}(A),\text{rank}(B))$

总结

矩阵的秩本质上是其行或列向量的独立信息量的度量，决定了矩阵在变换中的“自由度”。理解秩有助于分析方程组、空间变换以及矩阵的稳定性等问题。