数学基础 -- 欧拉恒等式的魅力：让复数旋转起来！

公式推导：

$$e^{i\pi }=-1$$

被誉为数学中最美的公式之一，它连接了五个数学中最重要的常数：

$$e^{i\pi }+1=0\text{\hspace{1em}(欧拉恒等式)}$$

这不仅是巧合，而是复数与三角函数、指数函数之间深层结构的必然结果。

现在我们就从欧拉公式出发，来详细推导并解释这个结论。

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一、欧拉公式（Euler’s Formula）

欧拉公式是：

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

对任意实数 $x$ 都成立。

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二、令 $x=\pi$，代入欧拉公式

$$e^{i\pi }=\cos (\pi )+i\sin (\pi )$$

我们知道：

• $\cos (\pi )=-1$
• $\sin (\pi )=0$

所以：

$$e^{i\pi }=-1+i\cdot 0=-1$$

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三、这代表什么？

这个看似简单的公式，其实传达了非常深的含义：

1. 从复平面角度看：

• $e^{i\theta }$ 表示复平面上模为 1、角度为 $\theta$ 的点。
• 所以 $e^{i\pi }$ 是在单位圆上，从 1（即角度 0）逆时针转了 $\pi$ 弧度，刚好到达 -1。

简单说，在复平面上从 $1$ 出发逆时针转 180°（π弧度），就到 -1

2. 把「旋转」变成「负号」！

$$e^{i\pi }=-1\Rightarrow e^{i\pi }+1=0$$

这是数学中最美的一种“桥接”现象。

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四、数学界称之为“欧拉恒等式”的美：

它把五个最核心的常数联系在一起：

常数	含义
$e$	自然对数的底数，出现在增长模型中
$i$	虚数单位，满足 $i^2=-1$
$\pi$	圆周率，几何之母
$1$	乘法单位元
$0$	加法单位元

所以，欧拉恒等式：

$$e^{i\pi }+1=0$$

被誉为是「上帝写给人类的方程」。

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五、从泰勒展开再次验证

回顾这个式子：

$$e^{ix}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(ix{)}^n}{n!}=\cos x+i\sin x$$

令 $x=\pi$：

• 偶数项变成 $(-1{)}^n{\pi }^{2n}/(2n)!$，即 $\cos \pi =-1$
• 奇数项变成 $i\cdot (-1{)}^n{\pi }^{2n+1}/(2n+1)!$，即 $\sin \pi =0$

再次印证：
$$e^{i\pi }=-1$$

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小结

项目	解释
推导方式	欧拉公式 + 三角函数值
几何解释	单位圆上旋转 $\pi$ 弧度到 -1 点
代数解释	通过级数展开得到
意义	连通 $e,i,\pi ,1,0$，美妙的数学统一