高中数学联赛模拟试题精选第18套几何题

在 $△ABC$ 中, $AB<AC$, 点 $K$, $L$, $M$ 分别是边 $BC$, $CA$, $AB$ 的中点.$△ABC$ 的内切圆圆心为 $I$, 且与边 $BC$ 相切于点 $D$. 直线 $l$ 经过线段 $ID$ 的中点且与 $IK$ 垂直, 与直线 $LM$ 交于点 $P$. 证明: $\angle PIA=90^{\circ }$.

(《高中数学联赛模拟试题精选》第18套)

证明:

设 $l$ 交 $ID$ 于点 $T$, 交 $IK$ 于点 $Q$, 延长 $DI$ 交 $ML$ 于点 $R$.

显然 $R$, $P$, $Q$, $I$ 四点共圆且 $PI$ 为直径.

要证明 $\angle PIA=\frac{\pi }{2}$, 只需证明 $AI$ 切 $(RPQ)$ 于点 $I$, 这等价于证明 $\angle RQI=\angle RIA$.

延长 $DI$ 交内切圆于点 $S$. 设过 $S$ 的 $BC$ 的平行线分别交 $AB$, $AC$ 于点 $B^{\prime }$, $C^{\prime }$. 设 $A$ 在 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 和 $BC$ 上的投影分别为点 $H^{\prime }$, $H$. 设 $D^{\prime }$ 为 $\angle BAC$ 内的旁切圆在 $BC$ 上的切点.

显然 $\angle B^{\prime }A{C}^{\prime }\sim △ABC$, $\odot I$ 是 $△A{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的旁切圆, $S$ 是其在 $B^{\prime }{C}^{\prime }$ 上的切点. 由此易知 $S$ 和 $D^{\prime }$ 是对应点, 进而可知 $A$, $S$, $D^{\prime }$ 共线.

显然 $IK//S{D}^{\prime }$, 所以 $\angle DS{D}^{\prime }=\angle DIK$.

$AS/IS=\frac{AS}{A{H}^{\prime }}\frac{A{H}^{\prime }}{IS}$.

$IR/IQ=\frac{IR}{IT}\frac{IT}{IQ}$.

易知 $\frac{AS}{A{H}^{\prime }}=\frac{IT}{IQ}$.

$\frac{AS}{A{D}^{\prime }}=\frac{A{H}^{\prime }}{AH}$

$\frac{IR}{IT}=\frac{\frac{1}{2}AH-ID}{\frac{1}{2}ID}=\frac{AH-2ID}{ID}$

$\frac{A{H}^{\prime }}{IS}=\frac{AH-2ID}{ID}=\frac{IR}{IT}$.

综上, $△ASI\sim △RIQ$. 由此可知 $\angle AIS=\angle RQI$.

证毕.