算法中的数学：约数

1.求一个整数的所有约数

对于一个整数x，他的其中一个约数若为i，那么x/i也是x的一个约数。而其中一个约数的大小一定小于等于根号x（完全平方数则两个约数都为根号x），所以我们只需要遍历到根号x，然后计算出另一个约数即可

代码实现：
 

int a[N];
int cnt;
void getnum(int x)
{for(int i = 1; i <= x/i; i++){if(x%i == 0){a[++cnt] = i;if(x/i != i){ a[++cnt] = x/i;}}}
} 

时间复杂度为O(根号n)

2.求（1~n）的每个数的约数集合

如果我们对每个数都使用试除法会导致算法时间复杂度过高，为O（n*根号n）

所以我们使用正难则反的思想，遍历1~n的所有数，然后将它作为约数给到所有他的倍数。

图示：

这里我们演示了如何使用该方法将每个数的约数求出来。

这样子时间复杂度就来到了nlogn

代码实现：
 

int n;
vector<int> a[N];
void func()
{
for(int i = 1; i <= n; i++){for(int j = 1; i*j <= n; j++){a[i*j].push_back(i);}}
}      

3.约数个数定理

根据唯一分解定理我们可知：一个数可以被拆分成多个质数的任意次方相乘

而这些不同的质数经过组合就可以得到num的约数

图示：

而总结出来的公式就是：

(次方加1）*(次方加1) *.......

补充：
试除法求单个数的约数个数

方法一：遍历1~根号n的数将cnt返回

方法二：分解质因数后套用公式计算

4.约数和定理

计算方法：将每个质因数的所有分别种类相加，记为sum，然后不同的质因数的sum乘起来

右边我们就是在计算约数之和的具体过程

 5.例题讲解

审题：
本题需要我们求出一到n的数的所有约数的个数之和

思路：
方法一：暴力解法

我们可以用试除法计算1到n每个数的所有约数，然后将cnt累加起来，外层循环为遍历1~n，内层为试除法，时间复杂度为O（n根号n）

运行次数为1e12，一定超时

方法二：正难则反

我们可以遍历1~n，不过这里的i含义是约数，用n/i可以求出当前约数一共出现的次数，然后就累加起来。但是这样就要运行n次，也就是1e8次，还是有可能超时

优化：由于当i小于等于n/2的时候，约数出现次数大于等于1，而i大于n/2的时候，约数次数一定为1，所以我们只用遍历到n/2即可，后面的次数都为1，所以后面的约数的出现次数等于后面的约数个数（n-n/2）

解题：
 

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll cnt;
int main()
{cin >> n;for(int i = 1; i <= n/2; i++){cnt += n/i;}cnt += n-n/2;cout << cnt << endl;return 0;
}