贝塞尔曲线原理

一、 低阶贝塞尔曲线

1.一阶贝塞尔曲线

如下图所示，$P_0$, $P_1$ 是平面中的两点，则 $B(t)$ 代表平面中的一段线段。

考虑这样一条曲线方程
$$\begin{array}{r}B(t)=P_0+(P_1-P_0)t=(1-t)P_0+t{P}_1\end{array}$$
一阶曲线很好理解， 就是根据$t$来的线性插值，$t$的取值范围为 $[0,1]$。

python实现

# 保存动图时用，pip install celluloid
from celluloid import Camera 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
P0=np.array([0,0])
P1=np.array([1,1])
fig=plt.figure(1)
camera = Camera(fig)
x =[]
y=[]
for t in np.arange(0,1,0.01):plt.plot([P0[0],P1[0]],[P0[1],P1[1]],'r')p1_t=(1-t)*P0+t*P1x.append(p1_t[0])y.append(p1_t[1])# plt.plot(x,y,c='b')plt.scatter(x,y,c='b')# plt.pause(0.001)camera.snap()
animation = camera.animate()
animation.save('一阶贝塞尔.gif')

matlab实现

from celluloid import Camera  # 保存动图时用，pip install celluloid
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
P0=np.array([0,0])
P1=np.array([1,1])
fig=plt.figure(1)
camera = Camera(fig)
x =[]
y=[]
for t in np.arange(0,1,0.01):plt.plot([P0[0],P1[0]],[P0[1],P1[1]],'r')p1_t=(1-t)*P0+t*P1x.append(p1_t[0])y.append(p1_t[1])# plt.plot(x,y,c='b')plt.scatter(x,y,c='b')# plt.pause(0.001)camera.snap()
animation = camera.animate()
animation.save('一阶贝塞尔.gif')

2. 二阶贝塞尔曲线

对于二阶贝塞尔曲线，需要3个控制点，假设分别为 $P_0$，$P_1$，$P_2$​。 $P_0$ 和$P_1$ ​构成一阶$P_{1,1}(t)$， $P_1$​和 $P_2$​​也构成一阶$P_{1,2}(t)$，即：
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{P}_{1,1}(t)=(1-t)P_0+t{P}_1\\ P_{1,2}(t)=(1-t)P_1+t{P}_2\end{array}\end{array}$$
在生成的两个一阶点$P_{1,1}(t)$，$P_{1,2}(t)$基础上，可以生成二阶贝塞尔点$P_2(t)$:
$$\begin{array}{r}{P}_2(t)=(1-t)P_{1,1}+t{P}_{1,2}=(1-t{)}^2{P}_0+2t(1-t)P_1+t^2{P}_2\end{array}$$

python实现

from celluloid import Camera  # 保存动图时用，pip install celluloid
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
P0 = np.array([0, 0])
P1 = np.array([1,1])
P2 = np.array([2, 1])
fig = plt.figure(2)
camera = Camera(fig)x_2 = []
y_2 = []
for t in np.arange(0, 1, 0.01):plt.cla()plt.plot([P0[0], P1[0]], [P0[1], P1[1]], 'k')plt.plot([P1[0], P2[0]], [P1[1], P2[1]], 'k')p11_t = (1-t)*P0+t*P1p12_t = (1-t)*P1+t*P2p2_t = (1-t)*p11_t+t*p12_tx_2.append(p2_t[0])y_2.append(p2_t[1])plt.scatter(x_2, y_2, c='r')plt.plot([p11_t[0],p12_t[0]],[p11_t[1],p12_t[1]],'g')plt.title("t="+str(t))plt.pause(0.001)
#     camera.snap()
# animation = camera.animate()
# animation.save('2阶贝塞尔.gif')

matlab实现

clc;
clear;
close all;
%% 二次贝塞尔曲线
P0=[0,0];
P1=[1,1];
P2=[2,1];
P=[P0;P1;P2];
figure(2);
plot(P(:,1),P(:,2),'k');
MakeGif('二次贝塞尔曲线.gif',1);
hold onscatter(P(:,1),P(:,2),200,'.b');
for t=0:0.01:1P_t_1=(1-t) * P0 + t * P1;P_t_2=(1-t) * P1 + t * P2;P_t_3=(1-t) * P_t_1 + t * P_t_2;m1=scatter(P_t_1(1),P_t_1(2),300,'g');m2=scatter(P_t_2(1),P_t_2(2),300,'g');m3=plot([P_t_1(1),P_t_2(1)],[P_t_1(2),P_t_2(2)],'g','linewidth',2);scatter(P_t_3(1),P_t_3(2),300,'.r');  stringName = "二次贝塞尔曲线：t="+num2str(t);title(stringName);MakeGif('二次贝塞尔曲线.gif',t*100+1);delete(m1);delete(m2);delete(m3);
end

3. 三阶贝塞尔曲线

三阶贝塞尔曲线有4个控制点，假设分别为 $P_0$，$P_1$，$P_2$，$P_3$。 $P_0$ 和 $P_1$， $P_1$ 和 $P_2$ ， $P_2$ 和 $P_3$ 分别构成一阶$P_{1,1}(t)$，$P_{1,2}(t)$，$P_{1,3}(t)$，即：
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{P}_{1,1}(t)=(1-t)P_0+t{P}_1\\ P_{1,2}(t)=(1-t)P_1+t{P}_2\\ P_{1,3}(t)=(1-t)P_2+t{P}_3\end{array}\end{array}$$
在生成的三个一阶点$P_{1,1}(t)$，$P_{1,2}(t)$，$P_{1,3}(t)$基础上，可以生成两个二阶贝塞尔点 $P_{2,1}(t)$，$P_{2,2}(t)$：
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{P}_{2,1}(t)=(1-t)P_{1,1}+t{P}_{1,2}\\ P_{2,2}(t)=(1-t)P_{1,2}+t{P}_{1,3}\end{array}\end{array}$$
在生成的两个二阶点$P_{2,1}(t)$，$P_{2,2}(t)$基础上，可以生成三阶贝塞尔点$P_3(t)$:
$$\begin{array}{r}{P}_3(t)=(1-t)P_{2,1}+t{P}_{2,2}=(1-t{)}^3{P}_0+3t(1-t{)}^2{P}_1+3t^2(1-t)P_2+t^3{P}_3\end{array}$$

python实现

from celluloid import Camera  # 保存动图时用，pip install celluloid
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltP0 = np.array([0, 0])
P1 = np.array([1, 1])
P2 = np.array([2, 1])
P3 = np.array([3, 0])
fig = plt.figure(3)
camera = Camera(fig)x_2 = []
y_2 = []
for t in np.arange(0, 1, 0.01):plt.cla()plt.plot([P0[0], P1[0]], [P0[1], P1[1]], 'k')plt.plot([P1[0], P2[0]], [P1[1], P2[1]], 'k')plt.plot([P2[0], P3[0]], [P2[1], P3[1]], 'k')p11_t = (1-t)*P0+t*P1p12_t = (1-t)*P1+t*P2p13_t = (1-t)*P2+t*P3p21_t = (1-t)*p11_t+t*p12_tp22_t = (1-t)*p12_t+t*p13_tp3_t = (1-t)*p21_t+t*p22_tx_2.append(p3_t[0])y_2.append(p3_t[1])plt.scatter(x_2, y_2, c='r')plt.plot([p11_t[0], p12_t[0]], [p11_t[1], p12_t[1]], 'b')plt.plot([p12_t[0], p13_t[0]], [p12_t[1], p13_t[1]], 'b')plt.plot([p21_t[0], p22_t[0]], [p21_t[1], p22_t[1]], 'r')plt.title("t="+str(t))plt.pause(0.001)
#     camera.snap()
# animation = camera.animate()
# animation.save('3阶贝塞尔.gif')

matlab实现

clc;
clear;
close all;
P0=[0,0];
P1=[1,1];
P2=[2,1];
P3=[3,0];
P=[P0;P1;P2;P3];
figure(3);
plot(P(:,1),P(:,2),'k');
MakeGif('三次贝塞尔曲线.gif',1);
hold on
scatter(P(:,1),P(:,2),200,'.b');for t=0:0.01:1P_t_1=(1-t) * P0 + t * P1;P_t_2=(1-t) * P1 + t * P2;P_t_3=(1-t) * P2 + t * P3;ssP_t_4=(1-t) * P_t_1 + t * P_t_2;P_t_5=(1-t) * P_t_2 + t * P_t_3;P_t_6=(1-t) * P_t_4 + t * P_t_5;m1=scatter(P_t_1(1),P_t_1(2),300,'g');m2=scatter(P_t_2(1),P_t_2(2),300,'g');m3=scatter(P_t_3(1),P_t_3(2),300,'g');m4=scatter(P_t_4(1),P_t_4(2),300,'m');m5=scatter(P_t_5(1),P_t_5(2),300,'m');m6=plot([P_t_1(1),P_t_2(1),P_t_3(1)],[P_t_1(2),P_t_2(2),P_t_3(2)],'g','linewidth',2);m7=plot([P_t_4(1),P_t_5(1)],[P_t_4(2),P_t_5(2)],'m','linewidth',2);scatter(P_t_6(1),P_t_6(2),300,'.r');  stringName = "三次贝塞尔曲线：t="+num2str(t);title(stringName);MakeGif('三次贝塞尔曲线.gif',t*100+1);delete(m1);delete(m2);delete(m3);delete(m4);delete(m5);delete(m6);delete(m7);
end