[原创](计算机数学)(The Probability Lifesaver)(P14): 推导计算 In(1-u) 约等于 -u

[作者]
常用网名: 猪头三
出生日期: 1981.XX.XX
企鹅交流: 643439947
个人网站: 80x86汇编小站
编程生涯: 2001年~至今[共24年]
职业生涯: 22年
开发语言: C/C++、80x86ASM、Object Pascal、Objective-C、C#、R、Python、PHP、Perl、
开发工具: Visual Studio、Delphi、XCode、C++ Builder、Eclipse
技能种类: 逆向 驱动 磁盘 文件 大数据分析
涉及领域: Windows应用软件安全/Windows系统内核安全/Windows系统磁盘数据安全/macOS应用软件安全
项目经历: 股票模型量化/磁盘性能优化/文件系统数据恢复/文件信息采集/敏感文件监测跟踪/网络安全检测
专注研究: 机器学习、股票模型量化、金融分析

[描述]
用 Taylor 定理(带余项的形式)来严格推导
$$\ln (1-u)=-u-\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{3}-\cdots \approx -u$$

重点在于写出"余项"(remainder)的表达式, 并说明它为什么相对第一项很小, 从而可以忽略. 以下分几步来展开.

---

1. Taylor 定理(拉格朗日余项形式)概述

设 $f$ 在 $a$ 的某邻域内具有 $n+1$ 阶连续导数, 那么在点 $a$ 处对 $f(x)$ 做 $n$ 阶 Taylor 展开, 有：

$$f(x)=P_n(x)+R_n(x)$$

其中

• $P_n(x)$ 是关于 $a$ 点的 $n$ 阶 Taylor 多项式：

  $$P_n(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$$

• $R_n(x)$ 是 Lagrange 格式的余项：

  $$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1},\text{对某个 }\xi \text{ 在 }a\text{ 与 }x\text{ 之间.}$$

在本题中, 令

$$f(u)=\ln (1-u),a=0$$

希望展开到一阶(即 $n=1$), 然后考察余项 $R_1(u)$ 的大小.

---

2. 计算各阶导数, 并写出一阶多项式与余项

对 $f(u)=\ln (1-u)$, 在 $u=0$ 处计算导数：

1. $f(u)=\ln (1-u)$.

2. 第一阶导数：

   $$f^{\prime }(u)=\frac{d}{du}$$