C++并集查找

前言

C++图论
C++算法与数据结构
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基本概念

并查集（Union-Find）是一种用于处理动态连通性（直接或间接相连）的数据结构，主要支持两种操作：union 和 find。通过这两个基本操作，可以高效地管理一组元素之间的连通关系。
Find: 查找节点所在有向树的根。
Union: 将两个不同的有向图合并为一棵树。

暴力做法

并集查找处理无向图的数据结构：有向森林，每棵树都是内向树。连通子图都直接或间接指向根，根出度为0，其它节点出度为1。vPar记录各节点的父节点。
Find(u)函数寻找u所在有向树的根（最远祖先）：

while(-1 != vPar[u]){ u =vPar}
return u;

判断u和v是否连通：

return Find(u)==Find(v)

连通：

root1 = Find(u);
root2 = Find(v);
如果root1和root2相等，直接返回。否则会有自环。
vPar[root1] = root2;

初始和合并都是有向森林

可以用数学归纳法证明。
初始：所有连通子图都是只有一个节点的有向树。
合并前后：
root1是根，出度0。合并后不是根，出度为1。
root2合并前后都是根，出度为0，不变。
其它节点合并前后都不是根，出度不变。
合并前后：v节点所在子图都直接或间接指向root2。
合并后：u所在子树通过u间接指向root2。

时间复杂度

合并和查找都是O(n)

启发式合并（UNION BY RANK）

合并前，u、v所在子树的节点数分别为mu、mv。
$$\{\begin{array}{llc}vPar[root1]=root2& u树所有节点层次+1，v子树层次不变。& mu<=mv\\ vPar[root2]=root1& v树所有节点层次+1，u子树层次不变& 其它\end{array}$$
任意节点合并的次数不会超过$log2n$，否则合并此树的节点数超过n。被合并一次层次数+1，故所有节点的层次不互已超过$log2n$。

路径压缩（PATH COMPRESSION）

路径压缩的优点在于它的简单性和有效性。尽管单次 find 的时间复杂度可能较高，但由于摊还分析的结果表明，经过多次操作后，平均时间复杂度接近常数 ( O(\alpha(n)) )，其中 ( \alpha(n) ) 是反阿克曼函数，增长极其缓慢}
u及u所有的祖先都直接连通root2。
合并和查找都是O(log2n)

可撤销并集查找

以启发式合并为基础。每次连通：
vPar[root1]= root2。 我们记录root1、修改之前的x=vPar[root1]。
vCnt[root2] += vCnt[root1]，我们记录root2，y=vCnt[root1]。
撤销时：
vPar[root1] = x vCnt[root2] -=y
用栈记录操作记录。已经连通也要有记录。

封装类代码

无向图的并集查找（路径压缩）

class CUnionFind
{
public:CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize){for (int i = 0; i < iSize; i++){m_vNodeToRegion[i] = i;}m_iConnetRegionCount = iSize;}	CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo):CUnionFind(vNeiBo.size()){for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {for (const auto& n : vNeiBo[i]) {Union(i, n);}}}int GetConnectRegionIndex(int iNode){int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];if (iNode == iConnectNO){return iNode;}return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);}void Union(int iNode1, int iNode2){const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);if (iConnectNO1 == iConnectNO2){return;}m_iConnetRegionCount--;if (iConnectNO1 > iConnectNO2){m_vNodeToRegion[iConnectNO1] = iConnectNO2;}else{m_vNodeToRegion[iConnectNO2] = iConnectNO1;}}bool IsConnect(int iNode1, int iNode2){return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);}int GetConnetRegionCount()const{return m_iConnetRegionCount;}//vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量//{//	const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();//	vector<int> vRet(iNodeSize);//	for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)//	{//		vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;//	}//	return vRet;//}std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion(){std::unordered_map<int, vector<int>> ret;const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();for (int i = 0; i < iNodeSize; i++){ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);}return ret;}
private:vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引int m_iConnetRegionCount;
};

实时更新各连通区域节点的并集查找

//启发式合并，实时更新各连通区域的节点
class CUnionFindNodes : public CUnionFind {
public:CUnionFindNodes(int n) :CUnionFind(n) {m_nodes.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {m_nodes[i].emplace_back(i);}}void Union(int iNode1, int iNode2){int g0 = GetConnectRegionIndex(iNode1);int g1 = GetConnectRegionIndex(iNode2);if (g0 == g1) { return; }CUnionFind::Union(iNode1, iNode2);if (g1 == GetConnectRegionIndex(g0)) {swap(g0, g1);}if (m_nodes[g1].size() > m_nodes[g0].size()) {swap(m_nodes[g1], m_nodes[g0]);}m_nodes[g0].insert(m_nodes[g0].end(), m_nodes[g1].begin(), m_nodes[g1].end());m_nodes[g1].clear();}vector<vector<int>> m_nodes;
};

无向图的并集查找

如果一条会形成环或出度为2，忽略。

class CUnionFindDirect
{
public:CUnionFindDirect(int iSize){m_vRoot.resize(iSize);iota(m_vRoot.begin(), m_vRoot.end(), 0);}void Connect(bool& bConflic, bool& bCyc, int iFrom, int iTo){bConflic = bCyc = false;if (iFrom != m_vRoot[iFrom]){bConflic = true;}Fresh(iTo);if (m_vRoot[iTo] == iFrom){bCyc = true;}if (bConflic || bCyc){return;}m_vRoot[iFrom] = m_vRoot[iTo];}int GetMaxDest(int iFrom){Fresh(iFrom);return m_vRoot[iFrom];}	
private:int Fresh(int iNode){if (m_vRoot[iNode] == iNode){return iNode;}return m_vRoot[iNode] = Fresh(m_vRoot[iNode]);}vector<int> m_vRoot;
};

可撤销的并集查找

class CUnDoUnionFind {
public:CUnDoUnionFind(int N) :m_par(N, -1), m_cnt(N, 1) {};int Find(int x) {while (-1 != m_par[x]) { x = m_par[x]; }return x;}void Union(int u, int v) {int root1 = Find(u);int root2 = Find(v);if (root1 == root2) {m_record.emplace(root1, m_par[root1], root2, 0);return;}if (m_cnt[root1] > m_cnt[root2]) {swap(u, v);swap(root1, root2);}m_record.emplace(root1, m_par[root1], root2, m_cnt[root1]);m_par[root1] = root2;m_cnt[root2] += m_cnt[root1];}bool Undo() {if (m_record.empty()) { return false; }const auto [root1, par, root2, cnt] = m_record.top(); m_record.pop();m_par[root1] = par;m_cnt[root2] -= cnt;return true;}vector<int> m_par, m_cnt;stack<tuple<int, int, int, int>> m_record;
};

样例

力扣

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样例整理时间

2025-5-25

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。