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《信号与系统》第 5 章离散时间傅里叶变换

article 2025/6/3 8:58:42

5.0 引言

这一章将介绍并研究离散时间傅里叶变换，这样就完整地建立了傅里叶分析方法。

5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换

5.1.1 离散时间傅里叶变换的导出

在第4章看到：一个连续时间周期方波的傅里叶级数可以看成一个包络函数的采样值，并且随着这个方波周期的增大，这些样本变得愈来愈密。这一性质就使人想到一个非周期信号x(t)可以这样来表示，即首先产生一个周期信号~x(t)，使~x(t)在一个周期内等于x(t)，然后随着这个周期趋于无限大，~x(t)就会在一个愈来愈大的时间间隔上等于x(t)，这样对~x(t)的傅里叶级数表示也就收敛于x(t)的傅里叶变换表示。

在这一节，对离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，将采用与在连续时间情况下完全类似的步骤进行。

考虑某一非周期序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N和N，在-N≤n≤N，范围以外，x[n]=0。图5.1(a)示出这种类型的一个信号。

由这个非周期信号可以构成一个周期序列~x[n]，使得对~x[n]来说x[n]是它的一个周期，如图5.1(b)所示。随着所选周期N的增大，~x[n]就在一个更长的时间间隔内与x[n]一样，而当N→∞时，对任意有限n值来说，有~x[n]=x[n]。

现在来考虑~x[n]的傅里叶级数表示式。由式(3.94)和式(3.95)有

因为在包括-N1≤n≤N2区间的一个周期上x[n]=~x[n]，因此在式(5.2)中，求和区间就选在这个周期上，这样在式(5.2)的求和中就可用x[n]来代替~x[n]，而得到

上式中已经考虑到在–N1≤n≤N2区间以外，x[n]=0这一点。现定义函数

可见这些系数ak是正比于X(e^jω)的各样本值，即

其中ω0=2T/N用来表示频域中的样本间隔。

正比于：1/N，各样本值：X(e^jkω0)

将式(5.1)和式(5.5)组合在一起后得

带入1/N=ω0/2π，式(5.6)又可写成

与式(4.7)相同，随着N增加，ω0减小，一旦N→∞，式(5.7)就过渡为一个积分。

为了更清楚地看到这一点，把X(e^jω)e^jωn画在图5.2中。X(e^jω)对ω来说是周期的——自变量e^jω对于ω是周期的，周期为2π；而e^jωn也是以2π为周期的。所以，乘积X(e^jω)e^jωn也一定是周期的。

如图中所指出的，在式(5.7)求和中的每一项都代表了一个高为X(e^jω)e^jωn，宽为ω0的矩形面积。当ω0→0时，这个求和式就演变为一个积分。再者，因为这个求和是在N个宽为ω0=2T/N的间隔内完成的，所以总的积分区间——N·ω0=2π，总是有一个2π的宽度。因此，随着N→∞，~x[n]=x[n]，式(5.7)就变成了

其中，因为X(e^jω)e^jωn是周期的，周期为2π，因此积分区间可以取任何长度为2π的间隔。这样，就得到一对公式：

X(e^jω)称为离散时间傅里叶变换(DFT)，这一对式子就是离散时间傅里叶变换对。

式(5.8)是综合公式；

式(5.9)是分析公式；

综合公式本身就是把序列x[n]作为一种复指数序列的线性组合来表示的，这些复指数序列在频率上是无限靠近的，其幅度是X(e^jω)(dω/2π)。

傅里叶变换X(e^jω)往往称为x[n]的频谱，因为它给出了这样的信息：x[n]是怎样由这些不同频率的复指数序列组成的。

上述离散时间傅里叶变换的推导过程给我们在离散时闾傅里叶级数和离散时间傅里叶变换之间提供了一种重要的关系。特别是一个周期信号~x[n]的傅里叶系数ak可以用一个有限长序列x[n]的傅里叶变换的等间隔样本来表示，这个x[n]就等于在一个周期上的~x[n]，而在其余地方为零。这一点在实际的信号处理和傅里叶分析中极为重要，在习题5.41中将进一步给予讨论。

离散傅里叶变换和连续傅里叶变换的主要差别在于离散时间变换X(e^jω)的周期性和在综合公式中的有限积分区间。

这两者均来自这样一个事实(以前已经多次提到)：在频率上相差2π的离散时间复指数信号是完全一样的——

① 对周期离散信号而言，这就意味着傅里叶级数系数也是周期的，并且傅里叶级数表示式是一个有限项的和式。

② 对非周期离散信号而言，这就意味着X(e^jω)也是周期的(周期为2π)，并且综合公式只涉及在一个频率区间内的积分，这个频率区间就是产生不同复指数信号的那个间隔，即任何2π长度的间隔。

1.3.3节曾指出过e^jω作为ω函数的周期性的进一步结果是：ω=0和ω=2π都得出同一个信号。

因此，位于这些频率值或任何π偶数倍的ω附近都是慢变化的，从而都相应于低频率的时域信号；而靠近π的奇数倍的ω，在离散时域都相应于高的频率。

因此，在图5.3(a)中的信号x[n]（其傅里叶变换见图5.3(b)）的变化比图5.3(c)的信号x[n]（其傅里叶变换见图5.3(d)）的变化要更慢一些。

5.1.2 离散时间傅里叶变换举例

【例1】单边指数序列

傅里叶变换：

图5.4(a)示出了a>0时，X(e^jω)的模和相位；图5.4(b)示出了a<0时的模和相位。应该注意，图中所有这些函数都是周期为2π的周期函数。

【例2】双边指数序列

傅里叶变换：

X(e^jω)是实函数，对于0<a<1，如图所示

【例3】一个矩形脉冲序列如下——离散门函数

当N1=2时，如图所示

傅里叶变换：

N1=2时的X(e^jω)如图5.6(b)所示。式(5.12)的函数是Sinc函数在离散时间情况下所对应的形式——周期函数，周期为2π。

5.1.3 关于离散时间傅里叶变换的收敛问题

尽管以上讨论都是假设x[n]是任意的，但属有限长情况下得到的结论，但是式(5.8)和式(5.9)对极为广泛的一类无限长序列也是成立的。

在信号为无限长的情况下，还必须考虑分析公式(5.9)中无穷项求和的收敛问题。

式(5.9)中无穷项求和的收敛条件——x [n]是绝对可和的，即

或者，如果这个序列的能量是有限的，即

那么，式(5.9)就一定收敛。

与分析公式(5.9)的情况相比，综合公式(5.8)的积分是在一个有限的积分区间内进行的，因此一般不存在收敛问题。这一点与离散时间傅里叶级数综合公式(3.94)的情况非常相像，在那里由于只涉及一个有限项和式，所以也就没有任何收敛问题存在。

特别是，若用在频率范围为|ω|≤W的复指数信号的积分去拟合一个非周期信号x[n]，即

那么，若W=π，则有~x[n]=x[n]。因此，正如图3.18所示，在求离散时间傅里叶变换综合公式时，看不到任何类似于吉伯斯现象的行为存在！——有限频率范围内即可完全拟合。

【例1】单位脉冲序列

傅里叶变换：

单位脉冲序列的傅里叶变换在所有频率上都是相等的。

如果将式(5.15)用到这个例子中来，就得到

对应于几个不同的W值，∧x[n]图示于图5.7中。

由图可见，当W增加时，近似式∧x[n]的振荡频率就增加，同连续时间；

但是，另一方面，与连续时间情况相反，这些振荡的幅度相对于a[0]的幅度来说，则随着W的增大而减小，直至W=T时，这些振荡完全消失。

5.2 周期信号的傅里叶变换

与连续时间情况下相同，利用把一个周期信号的变换表示成频域中的冲激串的办法，就可以把离散时间周期信号也归并到离散时间傅里叶变换的范畴中。为了导出这种表示的形式，考虑如下信号：

在连续时间情况下，已经看到e^jω0t的傅里叶变换就是在ω=ω0处的冲激。因此，可以期望对离散时间情况下的式(5.17)的变换，或许会有相同的结果。

然而，离散时间傅里叶变换对ω来说必须是周期的，周期为2π。

傅里叶变换：在ω0，ω0±2π，ω0±4π，…等处的冲激。

如图5.8所示。

注意，在任意一个长度为2π的积分区间内，在式(5.18)的和式中真正包括的只有一个冲激。

现在考虑一个周期序列x[n]，周期为N，其傅里叶级数为

这时，傅里叶变换就是

这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅里叶系数得到。

假设选取式(5.19)的求和区间为k =0，1，…, N -1，则有

x[n]就是如式(5.17)所示信号的线性组合，其中ω0=0，2π/N，4π/N，…， (N - 1)2π/N所得到的傅里叶变换如图5.9所示。

在图5.9(a)中示出式(5.21)右边第一项的傅里叶变换：常数序列a0 = a0`·e^j0n的傅里叶变换，按式(5.18)，就是ω0=0，每个冲激的大小为2πa0的周期冲激串。再者，由第4章的讨论可知，这些傅里叶系数ak都是周期的，周期为N，所以有。

图5.9(b)是式(5.21)中第二项的傅里叶变换，这里再次应用式(5.18)的结果，并且有。

图5.9(c)是最后一项的傅里叶变换。最后图5.9(d)就是整个X(e^jω)。应该注意，由于ak的周期性，X(e^jω)就能看成发生在基波频率2π/N的整倍数频率上的一串冲激，位于ω=2πk/N处的冲激面积是2πak。这就是式(5.20)所表达的意思。

【例1】离散余弦序列

傅里叶变换：

一个周期内的傅里叶变换

如图所示

【例2】离散周期冲激串序列

傅里叶级数：

傅里叶变换：

如图所示：

5.3 离散时间傅里叶变换性质

离散时间傅里叶变换的各种性质也提供了对变换本质的进一步了解，同时往往在简化一个信号的正变换和逆变换的求取上是很有用的。

这一节及下面两节将考虑这些性质，并将这些性质简明扼要地综合于表5.1中。将表5.1和表4.1进行比较就会发现，连续时间和离散时傅里叶变换性质之间所呈现出的相似和差别。若某一性质的推导及陈述基本上与连续时间情况下的一样，则从简。

同时，由于傅里叶级数和傅里叶变换之间的紧密关系，因此就将傅里叶变换的很多性质直接移至离散时间傅里叶级数的相应性质中。这些性质已经列于表3.2中，并在3.7节简要讨论过。

在以下的讨论中，与4.3节一样，采用如下符号来表明一个信号及其傅里叶变换的一对关系，即

5.3.1 离散时间傅里叶变换的周期性

离散时间傅里叶变换对ω来说总是周期的，其周期为2π，即

这一点与连续时间傅里叶变换是不同的，一般来说，后者不是周期的。

5.3.2 线性性质

5.3.3 时移性质、频移性质

作为离散时间傅里叶变换周期性和频移性质的一个结果，就是在理想低通和理想高通离散时间滤波器之间存在的一种特别关系。

【例1】图5.12(a)示出一个截止频率为ωc的低通滤波器的频率响应Hlp(e^jω)，而图5.12(b)则是将Hlp(e^jω)频移半个周期π后的Hlp(e^j(ω-π))。

因为在离散时间情况下，高频集中在π(或π的奇数倍)附近，所以图5.12(b)所示特性就是一个截止频率为π-ωc的理想高通滤波器，也即

一个线性时不变系统的频率响应是该系统单位脉冲响应的傅里叶变换。于是，若hlp[n]和hhp[n]分别记为图5.12(a)和图5.12(b)的单位脉冲响应，那么式(5.32)和频移性质就意味着低通和高通滤波器有如下关系：

5.3.4 共轭、共轭对称性

若x[n]是实序列，则其变换是共轭对称的，即

据此可得：

只要x[n]是实序列就满足

① Re{X(e^jω)}是ω的偶函数、Im{X(e^jω)}是ω的奇函数。

② 模{X(e^jω)}是ω的偶函数、相角{X(e^jω)}是ω的奇函数。

③

5.3.5 时域差分性质、时域累加性质

离散时间情况下的累加就相应于连续时间情况下的积分。现在来讨论离散时间序列的累加及其逆运算，即一次差分的傅里叶变换。

设x[n]的傅里叶变换为X(e^jω)，那么根据线性和时移性质，一次差分信号x[n]-x[n-1]的傅里叶变换对就是

再考虑信号

因为y[n]-y[n-1] =x[n]，似乎可能得出y[n]的变换应为x[n]的变换被(1-e^-jω)所除！但是，这只是对了一部分，与式(4.32)所给出的连续时间积分性质一样，除此以外，还会涉及到更多的项，其精确的关系是

其中，右边的冲激串反映了累加过程中可能出现的直流或平均值。