【数学 逆序对 构造】P12386 [蓝桥杯 2023 省 Python B] 混乱的数组|普及+

本文涉及知识点

数学 构造

P12386 [蓝桥杯 2023 省 Python B] 混乱的数组

题目描述

给定一个正整数 $x$，请找出一个尽可能短的仅含正整数的数组 $A$ 使得 $A$ 中恰好有 $x$ 对 $i,j$ 满足 $i<j$ 且 $A_i>A_j$。

如果存在多个这样的数组，请输出字典序最小的那个。

输入格式

输入一行包含一个整数表示 $x$。

输出格式

输出两行。

第一行包含一个整数 $n$，表示所求出的数组长度。

第二行包含 $n$ 个整数 $A_i$，相邻整数之间使用一个空格分隔，依次表示数组中的每个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

3

输出 #1

3
3 2 1

说明/提示

评测用例规模与约定

• 对于 $30\%$ 的评测用例，$x\le 10$；
• 对于 $60\%$ 的评测用例，$x\le 100$；
• 对于所有评测用例，$1\le x\le 10^9$。

数量 逆序对

性质一：长度为n的数组，逆序最多$mn=\frac{n\times (n-1)}{2}$,整个数组逆序。$m{n}_0=0,m{n}_i=m{n}_{i-1}+n-1$
性质二：存在逆序对(i,j)，则一定存在相邻逆序对。如果{i,i+1},{i+1,i+2} $\cdots$ {j-1,j}都不是逆序对，则(i,j)也不是逆序对。
性质三：1到n排列，通过调整顺序，可以让逆序对为[0,mn]的任意数。选择任意相邻逆序对交换，逆序对减1。
性质四：长度为n的数字，x1是A[0]和其它数字的逆序对数量；x2是A[1…n-1]之间的逆序对数量。x2一定是$\frac{(n-1)\times (n-1)}{2}$。
A[0]=A[1…N-1]最小的x1个数的最大值+1。 x2++，有如下方式：a,交换顺序。b,某个数变小。c，某个数变大。x2++，意味着x1–。
无论那种方式A[0]只会变小或不变，不会变大。故A[1…N-1] 是N-1到1的逆序。
通过i从0到N-1枚举A[i]，A[0…i-1]已经确定, A[i+1…] 是[1,N-i+1]的逆序。

细节

数组分三部分
前缀A[0…i-1]：内部的逆序对直接从x减掉。cnt[i]记录前缀中大于等于i的数量
当前A[i]。
后缀：一定是$remain\sim 1$,remain=len-i-1
presum记录前后缀简单的逆序对。先暴力枚举，再优化。
枚举A[i]的值。
时间复杂度：O(nnn)

性质优化

$len\approx \sqrt{x}$
cnt[i]记录前缀中大于等于i的数量。对应差分数组是diff。则A[i]选择为x，则cnt[x…len]++，即diff[x]++。
这样可以在$\log len$的时间内，区间修改cnt，单点查询。cnt[cur+1]就是当前值选择cur，当前和前缀的逆序对。
[1…remain]和前缀构成的逆序对数量：
cnt2[i] = cnt[i]*i
则后缀和前缀组成的逆序对：
$cnt2[cur+\mathrm{1....}]-cnt[cur+\mathrm{1...}]\ast cur$
cnt2也用树状数组实现。
时间复杂度：$O(lenloglenloglen)$

此算法错误

以上性质，只有$i==0$是成立。比如：111111?11 优化111111?21

新解法

性质一：$A[0]\ne 1$,否则A[0]为0,不会和任意数产生逆序对。直接删除，更短。
** 性质二**：如果$A[i]\ge A[i+1]$则所有$A[j]\le A[j+1],i+1<j$。假定$A[i1]\le A[i1+1]$不会成立。则交换 $A[i],s[i+1]$逆序减1，交换A[j]和s[j+1]逆序对+1 。逆序对不变，字典序变小。
性质三：$s[i]>s[i+1]<s[i+2]$不成立。
情况a：a[i] > s[i+2]。如：312。321,逆序对++；231,逆序对–。逆序数不变，字典序更小。
情况b,a[i] < s[i+2]。如：213。123，逆序对–。132,逆序对++。逆序数不变，字典序更小。
情况c,$s[i]==s[i+2]$如：212。 ？？？？待证。
结论一：如果s[i]<s[i+1]，s[0…i]严格不减。
性质四：$A[0]<A[1]<A[2]$

正确解法

从新开始。
性质一：长度为n的数组，逆序最多$mn=\frac{n\times (n-1)}{2}$,整个数组逆序。$m{n}_0=0,m{n}_i=m{n}_{i-1}+n-1$
性质二：存在逆序对(i,j)，则一定存在相邻逆序对。如果{i,i+1},{i+1,i+2} $\cdots$ {j-1,j}都不是逆序对，则(i,j)也不是逆序对。
用f(i)代替$m{m}_i$。
求最小f(n) >= x。
性质三:如果$x==f(n)$。1到n的全排列逆序。
性质四：无论是否有重复的数字，逆序能得到最多的逆序对。存在一组重复2次的数字，逆序数减1。一组重复3次的数组，逆序对减少3。存在一组重复m次的数字，逆序对减少m-1次。
性质五：$f(n)-f(n-1)=n-1$我们以f(n)为基础，减少y=f(n)-x。$x\ge f(n-1)，故y\in [0,n-2]$
$A[0]\ge n-y$ 小于此值逆序对小于x。降低A[i]的值到<A[0]，(A[0],A[i])成为新逆序对。根根据性质四，A[1…n]的逆序对减1。
推论：A降序，如果$A[i]==A[i-1]，A[i-1]\ne A[i-2]$可以将A[i]赋值为A[i-2]，逆序对不变。字典序变小。

x=10为例：5 4 3 2 1。
x=9：4 3 2 1 1，逆序对减1。
x=8:3 2 2 1 1，逆序对减1。
如果n是奇数，可以减少$\lfloor n/2\rfloor$
如果是偶数，可以减少$n/2$次
以x=15为例：
$654321\to 543211\to 432211\to 332211$
性质六:$x>ge\lfloor n/2\rfloor$
x = 23为例。
24: 4 4 3 3 2 2 1 1
将A[0]改成3,变成$34332211$
3 4 3 3 ，逆序对减少2。A[1…n]已经是逆序，无法通过调整顺序增加逆序，只能减少重复数字。即：3433变成543。
即：**:23: 3 5 4 3 2 2 1 1
分析：x = 22
A[0]改成2，后面的2个2重复，减少2个逆序对。增加一个逆序只能：
5432全部+1，减少一个重复。
总结：
$A[0]=n-(f(n)-x),f(n)-x的取值范围[0,n-2]$故$A[0]的取值范围n\sim 2$
如果$A[0]\ge \frac{n}{2},y=n-A[0]$从后到前，$2个1，2个2\cdots 2个y$ $1个y+1,1个y+2\cdots A[0]$
$否则，2个A[0]2个A[0]-1\cdots 2个1，令z=n-2A[0]$两个A[0]之间插入$A[0]+z,A[0]+z-1\cdots A[0]+1$

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class Solution {
public:vector<int> Ans(int x) {vector<int> mn(1);while (mn.back() < x) {mn.emplace_back(mn.size() - 1 + mn.back());}const int len = mn.size() - 1;int  y = mn.back() - x;vector<int> ans;int a0 = len - y;if (2 * a0 >= len) {for (int i = a0; i > 0; i--) {ans.emplace_back(i);if (i <= len - a0) {ans.emplace_back(i);}}}else {for (int i = a0; i > 0; i--) {ans.emplace_back(i);ans.emplace_back(i);}vector<int> tmp;for (int i = len - 2 * a0; i > 0; i--) {tmp.emplace_back(a0 + i);}ans.insert(ans.begin() + 1, tmp.begin(), tmp.end());}return ans;}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;	/*for (int x = 1; x <= 28; x++) {cout << x << ":";auto res = Solution().Ans(x);for (const auto& i : res) {cout << i << " ";}cout << "\n";}*/int x;cin >> x;
#ifdef _DEBUG	//printf("iH=%d,iA=%d,H=%d,dA=%d",iH,iA,H,dA);//Out(C, ",C=");//Out(edge, ",edge=");		/*Out(que, ",que=");*///Out(ab, ",ab=");//Out(par, "par=");//Out(que, "que=");//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(x);cout << res.size() << "\n";for (const auto& i : res) { cout << i << " "; }return 0;
};