行列式详解：从定义到应用

行列式详解：从定义到应用

引言

行列式是线性代数中的核心概念之一，它不仅是矩阵理论的重要组成部分，更是解决线性方程组、计算向量空间体积、判断矩阵可逆性等问题的关键工具。本文将从行列式的基本定义出发，系统地介绍其性质、计算方法和重要应用。

思维导图

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1. 行列式的定义

1.1 二阶行列式

最简单的行列式是二阶行列式，定义为：

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

这个公式可以理解为主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积。

例如：
$$\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right|=3\times 4-2\times 1=12-2=10$$

1.2 三阶行列式

三阶行列式的计算可以使用萨吕斯（Sarrus）法则或按行（列）展开：

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$$

1.3 余子式和代数余子式

对于n阶行列式中的元素$a_{ij}$：

• 余子式 $M_{ij}$：去掉第i行第j列后得到的$(n-1)$阶行列式
• 代数余子式 $A_{ij}$：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

1.4 n阶行列式的定义

n阶行列式可以按第i行展开定义为：

$$|A|=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$

或按第j列展开定义为：

$$|A|=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}$$

2. 行列式的重要性质

2.1 基本性质

1. 转置不变性：$|A^T|=|A|$
2. 行列交换变号：交换两行（列），行列式变号
3. 比例性：某一行（列）乘以k，行列式也乘以k
4. 加法性：某一行（列）是两个向量之和，行列式等于两个行列式之和

2.2 重要推论

• 有零行（列）的行列式等于0
• 有两行（列）相同的行列式等于0
• 有两行（列）成比例的行列式等于0
• 某一行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

2.3 乘积性质

$$|AB|=|A||B|$$

这是行列式最重要的性质之一，对于理解矩阵的几何意义具有重要作用。

3. 行列式的计算方法

3.1 按行（列）展开法

这是定义性的计算方法，适用于任意阶数的行列式：

$$|A|=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}\text{(按第i行展开)}$$

计算技巧：选择零元素最多的行或列进行展开，可以大大简化计算。

3.2 化上三角矩阵法

利用行列式性质，通过行变换将矩阵化为上三角形式，此时行列式等于对角元素的乘积。

步骤：

1. 用行变换将矩阵化为上三角形
2. 记录行变换对行列式的影响
3. 计算对角元素乘积

例子：
$$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 4& 2& 1\\ 1& 3& 2\end{array}\right|$$

通过行变换：
$$\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 0& -5\\ 0& \frac{5}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right|$$

交换第二、三行（变号）：
$$-\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& \frac{5}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& -5\end{array}\right|=-2\times \frac{5}{2}\times (-5)=25$$

3.3 特殊行列式的计算

对角行列式

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|=a_1{a}_2\cdots a_n$$

范德蒙德行列式

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$

4. 行列式的重要应用

4.1 克拉默法则

对于n元线性方程组$Ax=b$，当系数矩阵A的行列式$|A|\ne 0$时，方程组有唯一解：

$$x_i=\frac{|A_i|}{|A|}$$

其中$A_i$是将A的第i列替换为常数列b得到的矩阵。

例子：解方程组
$$\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ x+3y=8\end{array}$$

系数矩阵：$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$，$|A|=6-1=5$

$$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}5& 1\\ 8& 3\end{array}\right|}{5}=\frac{15-8}{5}=\frac{7}{5}$$

$$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 8\end{array}\right|}{5}=\frac{16-5}{5}=\frac{11}{5}$$

4.2 矩阵可逆性判断

方阵A可逆的充要条件是$|A|\ne 0$。这为判断矩阵是否可逆提供了简便方法。

4.3 几何意义

在几何上，行列式具有重要的体积意义：

• 二阶行列式表示平行四边形的面积
• 三阶行列式表示平行六面体的体积
• n阶行列式表示n维空间中超平行体的"体积"

4.4 线性相关性判断

向量组 { α 1 , α 2 , … , α n } \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\} {α1​,α2​,…,αn​}线性相关的充要条件是以这些向量为列的矩阵的行列式等于0。

5. 学习建议和常见误区

5.1 学习建议

1. 掌握基本计算：熟练掌握2阶、3阶行列式的计算
2. 理解几何意义：将行列式与面积、体积联系起来理解
3. 多练习性质应用：利用性质简化计算，避免机械展开
4. 注意符号：行列式计算中符号错误是常见问题

5.2 常见误区

1. 混淆矩阵和行列式：矩阵是数表，行列式是数值
2. 忽视行列式性质：不利用性质直接展开，计算复杂
3. 符号错误：在按行列展开时符号计算错误
4. 几何意义理解不深：仅停留在计算层面，不理解几何背景

结语

行列式作为线性代数的基础概念，不仅具有重要的理论价值，更在实际应用中发挥着关键作用。从简单的二阶行列式到复杂的n阶行列式，从代数计算到几何意义，行列式为我们提供了理解线性关系的强有力工具。

掌握行列式的关键在于：

• 理解其定义和几何意义
• 熟练运用各种计算方法
• 灵活应用行列式性质
• 在实际问题中正确运用

随着学习的深入，你会发现行列式不仅是计算工具，更是理解线性代数美妙结构的窗口。它连接着代数与几何，抽象与具体，为进一步学习特征值、线性变换等高级概念奠定了坚实基础。