【高等数学】第一讲：函数与初等函数

目录函数的基本概念函数的表示法函数的几种重要特性有界性例子区间的有界性仅单侧有界的函数单调性全定义域上严格单调的函数分区间单调的函数奇偶性偶函数奇函数分段函数奇偶性分段奇函数分段偶函数周期性初等函数常数函数幂函数定义域核心性质单调性奇偶性指数函数定义域值域必过定点运算核心法则自然指数函数对数函数指数与对数的互化自然对数运算法则三角函数sin函数函数性质诱导公式cos函数函数性质诱导公式tan函数函数性质诱导公式和差角公式余弦差公式余弦和公式正弦和公式正弦差公式正切和公式正切差公式二倍角公式复合函数前言高等数学主要包括线性代数、微积分、概率论与数理统计是深度学习的基石和灵魂。如果没有这些数学工具深度学习将只是一堆无法理解、无法优化、无法解释的代码黑盒。其中微积分就是动态的优化过程。深度学习的核心目标是最小化损失函数这完全依赖微积分。所以从这篇文章开始我们学习高等数学的知识笔者水平有限不足之处多多包涵。函数的基本概念设 D 是一个非空实数集如果存在一个对应法则 f使得对于每一个 x∈D都有唯一确定的实数 y 与之对应则称 f 是定义在 D 上的函数记作其中 x 称为自变量y 称为因变量或函数值D 称为定义域函数值的集合 {f(x)∣x∈D} 称为值域。注意函数的两个要素是定义域和对应法则而值域由两者确定。函数的表示法解析法用数学式子表示如 yx1。图像法在坐标系中用曲线表示直观反映变化趋势。函数的几种重要特性有界性有上界若存在常数 M对任意 x∈X都有 f(x)≤M称 f(x) 在 X 上有上界M 是一个上界。有下界若存在常数 m对任意 x∈X都有 f(x)≥m称 f(x) 在 X 上有下界m 是一个下界。有界若存在正数 K对任意 x∈X都有 ∣f(x)∣≤K即同时有上界和下界称 f(x) 在 X 上有界若不存在这样的 K则称 f(x) 在 X 上无界。例子例如三角函数 f(x)sinx定义域 D(−∞,∞)对任意实数 x恒有 −1≤ sinx ≤1即 ∣sinx∣≤1。因此 f(x)sinx 在全体实数域上有界上界1下界−1取 K1 即可满足有界定义。区间的有界性反比例函数为例在区间 [1,2] 上有界当 x∈[1,2] 时即 ∣f(x)∣≤1因此在该区间上有界。在区间 (0,1) 上无界当 x 无限趋近于 0 时会无限增大不存在正数 K能让所有 x∈(0,1) 都满足 ∣x1​∣≤ K因此在该区间上无界。仅单侧有界的函数f(x)−定义域 R因≥0故≤0函数有上界上界可取 0但当 x→∞ 时f(x)无下界因此在 R 上是无界函数。单调性严格单调递增对任意 x1​,x2​∈I当 x1​x2​ 时恒有 f(x1​)f(x2​)称 f(x) 在区间 I 上严格单调递增。单调递增非严格对任意 x1​,x2​∈I当 x1​x2​ 时恒有 f(x1​)≤f(x2​)称 f(x) 在区间 I 上单调递增允许区间内存在函数值相等的点。严格单调递减对任意 x1​,x2​∈I当 x1​x2​ 时恒有 f(x1​)f(x2​)称 f(x) 在区间 I 上严格单调递减。单调递减非严格对任意 x1​,x2​∈I当 x1​x2​ 时恒有 f(x1​)≥f(x2​)称 f(x) 在区间 I 上单调递减。全定义域上严格单调的函数一次函数当斜率 k0 时比如 f(x)2x3定义域为 R对任意 x1​x2​f(x1​)−f(x2​) 2(x1​−x2​)0即 f(x1​)f(x2​)因此 f(x) 在 R 上严格单调递增。当斜率 k0 时比如 f(x)−3x1定义域为 R对任意 x1​x2​f(x1​)−f(x2​)−3(x1​−x2​)0即 f(x1​)f(x2​)因此 f(x) 在 R 上严格单调递减。分区间单调的函数这类函数在整个定义域上不单调但在不同的子区间上有明确的单调性。例如定义域为 R通过作差法分析当 x1​,x2​∈(−∞,0] 时x1​x2​≤0则 x1​−x2 ​0、x1​x2​0因此 f(x1​)−f(x2​)0即 f(x1​)f(x2​)函数在 (−∞,0] 上格严单调递减。当 x1​,x2​∈[0,∞) 时0≤x1​x2​则 x1​−x2​0、x1​x2​0因此 f(x1​)−f(x2​)0即 f(x1​)f(x2​)函数在 [0,∞) 上严格单调递增。奇偶性若定义域关于原点对称且 f(−x)f(x)则为偶函数图像关于y轴对称若 f(−x)−f(x)则为奇函数图像关于原点对称。判断奇偶性的第一步永远是检查定义域是否关于原点对称。若定义域不关于原点对称即存在x∈D但−x∈/D函数直接为非奇非偶函数无需再验证表达式关系。函数 yf(x) 的定义域 D 关于原点对称偶函数对任意 x∈D恒有 f(−x)f(x)几何特征为图像关于 y 轴对称。常见偶函数例如定义域 D(−∞,∞)关于原点对称。验证满足偶函数定义。奇函数对任意 x∈D恒有 f(−x)−f(x)几何特征为图像关于坐标原点中心对称若 0∈D则必有 f(0)0奇函数的核心是自变量取反后函数值也取反。例如函数定义域 D(−∞,∞)关于原点对称满足奇函数定义。分段函数奇偶性分段函数需分区间验证奇偶性确保所有区间都满足定义分段奇函数,定义域 D(−∞,∞)关于原点对称。当 x0 时−x0 所以代入第一段函数得再计算 −f(x) 得所以f(−x)−f(x)当 x0 时那么-x0, 所以代入第二段函数 将-x带入原等式得当 x0 时f(0)0满足 f(−0)−f(0)。分段偶函数定义域 D(−∞,∞)关于原点对称当 x0 时−x0当 x0 时−x0当 x0 时f(0)0满足 f(−0)f(0)周期性若存在非零常数 T使得 f(xT)f(x) 对一切 x 成立则称 f 为周期函数T 为周期。周期的倍数性若 T 是 f(x) 的周期则对任意非零整数 kkT 也一定是 f(x) 的周期。最小正周期在所有正周期中若存在一个最小的正数则称其为函数的最小正周期日常语境中说的 “周期” 均指最小正周期。注意不是所有周期函数都有最小正周期定义域前提周期函数的定义域必须是双向无界的x→∞ 和 x→−∞ 均有定义有界区间上的函数不可能是周期函数最经典的周期函数 —— 三角函数正弦函数 f(x)sinx和cos(x)定义域为 R双向无界对任意实数 x恒有sin(x2π)sinxcos(x2π)cosx初等函数常数函数yCC为常数。幂函数μ为实数自变量 x 位于底数位置是函数的核心变量α 是固定常数实数域内可为整数、分数、无理数也可拓展到复数域。这里注意和指数函数的区别指数函数是底数固定指数变化。定义域幂函数的定义域核心约束保证函数在实数域内有意义核心性质所有幂函数在 x0 的区间内均有定义且恒过定点 (1,1)因为 1 的任意实数次幂恒为 1当 α0 时幂函数还过定点 (0,0)α0 时在 x0 处无定义不过该点。单调性当 α0 时幂函数在 (0,∞) 上严格单调递增α 越大在 x1 区间增长速度越快。当 α0 时幂函数在 (0,∞) 上严格单调递减且以 x 轴、y 轴为水平 / 垂直渐近线。奇偶性奇函数α 为奇数整数或分数中 、 均为奇数图像关于原点对称例yx、、。偶函数α 为偶数整数或分数中 q 奇、p 偶图像关于y 轴对称例。指数函数自变量 x 位于指数位置是函数的核心变量定义域为全体实数。底数 a 是固定常数严格限定范围a0 且 a!1系数必须为 1无额外常数项、无复合变形。之所以规定 a0 且 a!1是为了保证函数在全体实数域内有意义若 a0当 x 取分数如​时在实数域内无意义, 根号下不能有负数若 a0当 x0 时当 x≤0 时无意义无法构成完整函数若 a1≡1退化为常函数无单调性、变化性等研究价值定义域全体实数 R(−∞,∞)无论底数 a 取何合规值x 取任意实数都有意义这是和幂函数最核心的区别之一。值域正实数集 (0,∞)。对任意实数 x恒大于 0函数图像永远不会与 x 轴相交。必过定点恒过定点 (0,1)因为任意非零数的 0 次幂恒为 1即恒过定点 (1,a)代入 x1得。运算核心法则所有指数运算都遵循以下 7 条核心法则适用于 a0,b0m,n 为任意实数同底数幂相乘同底数幂相除幂的乘方积的乘方零指数幂负指数幂分数指数幂n 为正整数n 为偶数时要求 a≥0自然指数函数自然指数函数是指数函数中最核心、应用最广的特例也是高等数学的核心基础函数底数 e 是自然常数欧拉数是一个无理数近似值 e≈2.718281828核心独有性质它的导数等于它本身即是实数域内唯一具备该性质的函数对数函数对数函数是六大基本初等函数之一是指数函数的反函数一般形式如下x 是自变量定义域为 (0,∞)负数和 0 没有对数函数的值域为全体实数 Ra 为对数的底数固定满足 a0 且 a!1继承指数函数对底数的约束。指数与对数的互化其中 a0,a!1且 N0真数必须为正。自然对数自然对数是以无理数 e欧拉数e≈2.718281828459⋯为底数的对数是对数函数中最特殊、在数学与自然科学中应用最广泛的一类是指数函数ye的x方的反函数。它的标准简写为 lnx全称 Natural Logarithm完整数学形式为。。互相转换关系。运算法则积的对数ln(MN)lnMlnNM0,N0商的对数ln(NM​)lnM−lnN幂的对数n为任意实数万能换底公式任意对数均可转为自然对数计算三角函数sin函数初中的时候定义为直角三角形定义锐角范围即在直角三角形中对于一个锐角 x单位度正弦的定义为角的对边/角的斜边。适用范围仅针对 0x90度的锐角是最直观的几何定义核心特征比值仅和角度大小有关和三角形的边长无关取值范围为 0sinx1。单位圆的定义在平面直角坐标系中以原点为圆心作单位圆半径r1将 x 轴正半轴绕原点逆时针旋转角度x弧度制与单位圆交于点P(m,n)则点P的纵坐标就是sinx的值也就是sinxn/1,也就是sinxn,同理可得出cosxm, 所以店P也可以表示为P(cosx,sinx)。函数性质定义域全体实数 R(−∞,∞)闭区间 [−1,1]正弦函数最基本的定义来源于单位圆半径为1的圆上的坐标。对于任意角 x弧度其终边与单位圆的交点坐标为 (cos⁡x,sin⁡x)。由于单位圆上所有点的纵坐标y坐标范围都在 −1 到 1 之间因此 sin⁡x 的值也必然在 [−1,1] 内。奇偶性满足sin(−x)−sinx图像关于原点中心对称是奇函数。周期性最小正周期 T2π满足sin(x2kπ)sinxk∈Z所有周期为2kπ(k∈Z,k!0)当角度增加 2π 时相当于绕单位圆完整旋转一周点的坐标回到原位置。单调递增区间。单调递减区间诱导公式公式结论负角公式sin(−x)−sinx在单位圆中x角和-x角的终边关于x轴的正半轴对称sinx和sin(-x)的值就是两个坐标中y的值他们互为相反数所以sin(-x)-sinx。补角公式sin(π−x)sinx设角 x 的终边与单位圆交于点 P(cos⁡x,sin⁡x)。角 π−x 的终边与 x 的终边关于 y 轴对称因此其与单位圆的交点 Q 的坐标为 (−cos⁡x,sin⁡x)。于是sin⁡(π−x) 等于点 Q 的纵坐标即 sin⁡x所以 sin⁡(π−x)sin⁡。余角公式sin(2π​−x)-sinx, 设角 x 的终边与单位圆交于点 P(cos⁡x,sin⁡x)。角 2π−x 的终边与 x 的终边关于 x 轴对称。周期公式sin(x2kπ)sinx (k∈Z)平角公式sin(πx)−sinx关于原点对称横坐标互为相反数互余公式在单位圆中设角 x 的终边与单位圆交于点 P(cos⁡x,sin⁡x)。角 π/2−x 的终边可以通过将角 x的终边关于直线 yx对称得到此时点 P 的对称点为 Q(sin⁡x,cos⁡x)该点即为角 π/2−x与单位圆的交点。是原来的坐标变换过来得到的新坐标。cos函数在平面直角坐标系中以原点为圆心、1为半径的单位圆上任意角 x弧度的终边与单位圆的交点坐标为 (cos⁡x,sin⁡x)。因此cos⁡x表示该点的横坐标。因为cos的三角定义是临边/斜边也就是横坐标/斜边(单位1)所以结果就是cosx的长度。函数性质定义域全体实数 R(−∞,∞)。值域闭区间 [−1,1]。奇偶性正弦函数是奇函数余弦函数满足cos(−x)cosx。周期性最小正周期 T2π正弦函数完全一致满足cos(x2kπ)cosxk∈Z。单调递减区间[2kπ,π2kπ] (k∈Z)单调递增区间[π2kπ,2π2kπ] (k∈Z)。对称性轴对称关于直线xkπ (k∈Z) 轴。中心对称关于点(2π​kπ,0) (k∈Z) 中心对称零点x2π​kπ (k∈Z)诱导公式公式核心结论几何意义负角公式cos(−x)cosx角−x在第四象限与角x第一象限关于 x 轴对称所以横坐标cos值相等补角公式cos(π−x)−cosx角π−x与x关于 y 轴对称横坐标互为相反数。在单位圆半径为1的圆上任意角 x 对应的点的坐标为 (cos⁡x,sin⁡x)。 角 π−x 是 x 的补角其终边与角 x 的终边关于 y 轴对称。平角公式cos(πx)−cosx角πx与x关于原点对称横坐标互为相反数周期公式cos(x2kπ)cosx (k∈Z)旋转一周回到原位置横坐标不变互余公式推导可查看上面关于sin的推导过程tan函数在单位圆和任意角的三角函数定义中设角 x 的终边与单位圆交于点 P(cos⁡x,sin⁡x)则正切为tanx sinx/cons函数性质定义域tan⁡x 在 cos⁡x0 时无定义即 xπ2kπk∈Zk∈Z。因此定义域为 {x∣x≠π2kπ,k∈Z}。值域tan⁡x可以取任意实数即值域为 R奇偶性tan⁡x 是奇函数周期性tan⁡x 是周期函数最小正周期为 π即 tan(xπ)tanx. 这是因为 sin⁡(xπ)−sin⁡xcos⁡(xπ)−cos⁡x比值不变。单调性在每个连续区间内tan⁡x 单调递增。零点tan⁡x0 当且仅当 sin⁡x0即 xkπk∈Zk∈Z渐近线在 xπ2kπ 处有垂直渐近线因为 cos⁡x 的值无线趋近于0 函数值趋向无穷大诱导公式tan⁡(π−x)−tan⁡x因为 sin⁡(π−x)sin⁡xcos⁡(π−x)−cos⁡xtan⁡(πx)tan⁡x周期性质tan⁡(−x)−tan⁡xtan⁡(π/2−x)cot⁡x余切推导过程使用诱导公式可得出新公式然后化简得到。tan⁡(π/2x)−cot⁡x。参考上面tan差角推导过道过程即可。和差角公式余弦差公式推导过程在平面直角坐标系中以原点 O 为圆心作单位圆。设角 α 和 β 的终边分别与单位圆交于点 A(cos⁡α,sin⁡α) 和 B(cos⁡β,sin⁡β)向量 OA (cos⁡α,sin⁡α) 和向量 OB(cos⁡β,sin⁡β)它们的夹角为 ∣α−β∣但余弦是偶函数所以cos(α−β)cos(β−α) 不影响结果根据向量的点积公式另一方面用坐标计算点积因此得到cos(α−β)cosαcosβsinαsinβ。余弦和公式要得到和角公式只需将 β 替换为 −β 并利用三角函数的奇偶性余弦是偶函数 cos⁡(−β)cos⁡β 正弦是奇函数 sin⁡(−β)−sin⁡β将上面奇偶性转换公式带入余弦差公式中得出化简后就是正弦和公式已知诱导公式带入sin (αβ) 得到新公式然后把结果带入到余弦差公式cos(A−B)cosAcosBsinAsinB中即把公式里面的A替换为 π/2​−α, B替换为β。得到新公式, 再结合即得结果。正弦差公式余弦是偶函数 cos⁡(−β)cos⁡β 正弦是奇函数 sin⁡(−β)−sin⁡β已知正弦和公式后根据诱导公式可得出sin(α -β) sinαcos⁡(-β) cos⁡α sin(-⁡β) sinαcos⁡β - cos⁡αsin⁡β。正切和公式推导过程已知tanx sinx/cosx所以又已知sin和cos的角和公式所以得出新公式分子分母同除cosαcosβ转化为正切形式即可得出。正切差公式, 使用上面推导的sin和cos的角差公式分子 sin⁡(α−β)sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β分母 cos⁡(α−β)cos⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡β带入后得到新公式分子分母同时除以 cos⁡αcos⁡β即可得出结果。二倍角公式sin2α 2sinαcosα。推导过程。前面我们学习过了sin的角和公式令角αβ所以 sin2α 2sinαcosβcos2α 推导过程根据cos角的和公式令角αβ即可推导出cos2α 推导过程已知变形得又已知os2α 将其代入本源形式替换sin2α得到即可得到。cos2α 根据上面的推导过程替换 cos2α 中的 cosα的平方即可得出。前面推导过tan的角和公式令角αβ即可推导出。复合函数若 yf(u)而 ug(x)则 yf[g(x)] 称为复合函数其中 u 为中间变量。要求 g(x) 的值域与 f(u) 的定义域有交集。不是任意两个函数都能复合必须满足内层函数的值域和外层函数的定义域有交集。反例f(u)arcsinu定义域u∈[−1,1]g(x)2x2值域[2,∞)。内层的值域和外层的定义域完全没有重叠无论 x 取什么值都无法让g(x)落在f(u)的定义域内因此f(g(x))无意义不能复合。喜欢请点赞收藏加关注~~~ 好文分享不迷路~~~