数据结构——复杂度

   

总有一天你要一个人，再暗夜中，向那座桥走过去

文章目录

一、算法的复杂度

考察形式范例

二、算法的时间复杂度

大O的渐进表示法

常见的复杂度对比

例题：消失的数字

题目的三种思路

1.排序+遍历

2.减法

3.单身狗思想

三、空间复杂度

大O的渐进表示法

常见复杂度比较

四、复杂度判断总结

---

  大家好，我是纪宁。

  上篇文章已经为大家介绍了数据结构与算法，相信看过的人已经大值了解数据结构与算法了。在解决一个问题的时候，我们通常会使用各式各样的算法，那么，如何衡量一个算法的性能好坏或者效率高低呢？这里我们就要学习复杂度的概念。

  本文在空间复杂度的求解处提到了函数栈帧这个概念，不懂的老铁可以去看博主肝了好久的老作品 从汇编代码探究函数栈帧的创建和销毁的底层原理

  还有在时间复杂度和空间复杂度中都提到的冒泡排序算法

一、算法的复杂度

  算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 ，因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

  时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

考察形式范例

leetcode

腾讯面试题、剑指offer 

二、算法的时间复杂度

  时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。它可以算出一个理论时间值，这个值与与其中语句的执行次数成正比例。那么算法的时间复杂度，通俗来讲，就是算法中的基本操作的执行次数。

大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项（取极限后对记过影响最大的一项）

3、如果最高阶项存在且不是1，去除与这个最高阶项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。 

4、时间复杂度以最坏情况为准（如在数组中搜索数组，时间复杂度为O(N)） 

常见的复杂度对比

void Func2(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 2 * N; ++k){++count;}int M = 10;while (M--){++count;}printf("%d\n", count);
}

  这段代码关键语句执行了 2N+10 次，只看最高项，为2N，再除去常数2，所以时间复杂度为O(N)

void Func3(int N, int M)
{int count = 0;for (int k = 0; k < M; ++k){++count;}for (int k = 0; k < N; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}

  这段代码关键语句执行了 M+N 次，所以时间杂度为O(M+N)

void Func4(int N)
{int count = 0;for (int k = 0; k < 100; ++k){++count;}printf("%d\n", count);
}

  这段代码关键语句执行了100次，为常数次，所以时间复杂度为O(1)

void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

  这段代码代码为冒泡排序算法，以最坏情况考虑（最后一次冒泡才排好序），第一次冒泡要比较 n-1次，第二次冒泡要比较 n-2 次......最后一次冒泡只需要比较 1 次，一共需要n趟比较。那么关键语句的执行次数为 (n-1)+(n-2)+(n-3)......+2+1=n*n/2（等差数列求和），所以冒泡排序的时间复杂度为 O(N^2)

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{assert(a);int begin = 0;int end = n - 1;while (begin <= end){int mid = begin + ((end - begin) >> 1);if (a[mid] < x)begin = mid + 1;else if (a[mid] > x)end = mid - 1;elsereturn mid;}return -1;
}

  这段代码为二分查找算法，以最快情况考虑（最后一个元素才找到或者没找到），二分查找时间复杂度计算比较难，我画图来解释一下。

为了方便书写，我们通常将时间复杂度为 以2为底的对数简写为 O(logN) 

long long Fib(size_t N)
{if (N < 3)return 1;return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

  这段代码是关于斐波那锲数列的递归解法，斐波那锲数列的递归法，用过的人都知道，只有理论意义，越递归，重复工作越多，越复杂，所以没有太大的实际意义。

当N=0的时候，一共进行了2^N数量级次递归语句的执行，所以时间复杂度为log(2^N)

例题：消失的数字

题目

数组nums包含从0到n的所有整数，但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗？

示例 ：

输入：[3,0,1]  

输出：2

示例 2：

输入：[9,6,4,2,3,5,7,0,1]   

输出：8

题目的三种思路

1.排序+遍历

  先排序，如果发现有个数的下一个数减这个数不等于1，那么这个数的下一个数就是‘消失的数字’。排序如果采用冒泡排序的话，时间复杂度会不合适，所以采用快速排序算法。快速排序的时间复杂度是 O(logN*N)，依然不符合时间复杂度要求大家可以自己去尝试优化一下排序算法。

2.减法

  先用等差数列公式计算 1-n的值，再用这个值减去遍历数组的加和，得到的就是那个消失的数字。时间复杂度为O(N)，符合要求。

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int N = numsSize;int ret = N * (N + 1) / 2;//等差数列公式for (int i = 0; i < N; i++){ret -= nums[i];}return ret;
}

3.单身狗思想

  先用1-n 的所有值异或，再用结果异或数组中的所有值，相同的数字可以相互配对，异或的值等于0，所以就剩下一个‘消失的数字’对应的数，这个数就是消失的数字。

int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{int N = numsSize;int x = 0;for (int i = 0; i <= N; i++){x ^= i;}for (int i = 0; i < N; i++){x ^= nums[i];}return x;
}

三、空间复杂度

  空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

  空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度与定义变量的个数（额外开辟的空间数），计算规则也与时间复杂度相差无几。但函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间（函数栈帧申请的次数）来确定。

大O的渐进表示法

  空间复杂度的大O渐进表示法通过计算额外开辟的空间数和函数栈帧的申请次数即可。

常见复杂度比较

void BubbleSort(int* a, int n)
{assert(a);for (size_t end = n; end > 0; --end){int exchange = 0;for (size_t i = 1; i < end; ++i){if (a[i - 1] > a[i]){Swap(&a[i - 1], &a[i]);exchange = 1;}}if (exchange == 0)break;}
}

因为冒泡排序中只创建了 exchange 这一个额外空间的变量，所以空间复杂度就是O(1)

long long* Fibonacci(size_t n)
{if (n == 0)return NULL;long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];}return fibArray;
}

这段代码开辟了（n+1）个额外空间，所以空间复杂度为O(N)

long long Fac(size_t N)
{if (N <3)return 1;return Fib(N - 1) * Fib(N-2);
}

  这段代码为斐波那契额数列的递归解法，这个解法时间复杂度达到了O(2^N)，而空间复杂度却是O(N)，因为它的函数栈帧其实只开辟了N次。为什么呢？真实情况是函数进入Fib(N-1)后，暂时是不会进入同行语句中的Fib(N-2)的，当Fib(N-1)递归结束后（一共开辟并释放了N次函数栈帧），程序才开始进入那一行的Fib(N-2)函数中，因为Fib(N-1)中已经开辟了很多空间，虽然已经还给了操作系统，但Fib(N-2)中所开辟的函数栈帧依然是在曾经Fib(N-1)的那块空间上，所以并没有再多余浪费空间开辟函数栈帧。

四、复杂度判断总结

这个表格大家看一下应该可以轻易理解并记住的，主要是掌握时间和空间复杂度的计算。

52101314	O(1)	常数阶
3n+4	O(N)	线性阶
3n^2+4n+5	O(N^2)	平方阶
3log(2)n+4	O(logN)	对数阶
2n+2nlog(2)n+14	O(NlogN)	NlogN阶
n^3+2n^2+4n+6	O(N^3)	立方阶
2^n	O(2^N)	指数阶