LA@复数和复矩阵@实对称阵相关定理

复数🎈

• 复数 (数学) (wikipedia.org)

• $$\begin{gathered} 加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i) \\ 减法：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i) \\ 乘法：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bd{i}^2=(ac-bd)+(bc+ad)i \\ 除法：\frac{(a+bi)}{(c+di)}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bci-adi-bd{i}^2}{c^2-(di{)}^2} \\ =\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i \end{gathered}$$

• $z=a+ib的共轭复数定义为z=a-ib;记作\overline{z}或z^{\ast }$

  • $z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2$
  • $-z=-a-ib$
  • $\overline{z}=a-ib$
  • $\overline{-z}=-a+ib$
  • $\overline{-z}=-\overline{z}$

  $$\begin{gathered} \overline{z}是z关于实数轴的对称点。有 \\ \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} \\ \overline{zw}=\overline{z}\cdot \overline{w} \\ \overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}} \\ \overline{\overline{z}}=z \\ \overline{z}=z当且仅当z是实数 \\ |z|=|\overline{z}| \\ |z{|}^2=z\overline{z} \\ {z}^{-1}=\overline{z}|z{|}^{-2}若z非零。这是计算乘法逆最常用的等式。 \end{gathered}$$

  • $\overline{x+y}=\overline{x}+\overline{y}$
    • $x+y=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$
    • $\overline{x}+\overline{y}=x_1-y_{1}i+x_2-y_{2}i=(x_1+x_2)-(y_1+y_2)i$
    • $\overline{x+y}=(x_1+x_2)-(y_1+y_2)i$
  • $\overline{xy}=\bar{x}\bar{y}$
    • $\overline{-x}=-\overline{x}$

复矩阵和复向量

• 元素是复数的矩阵和向量分别称为复矩阵和复向量

共轭矩阵

• 设$a_{ij}$是复数,$A=(a_{ij}{)}_{m\times n},\overline{A}=(\overline{a_{ij}}{)}_{m\times n}$,$\overline{a_{ij}}$和$a_{ij}$互为共轭复数,则称$A,\overline{A}$互为共轭矩阵

性质

• $\overline{\overline{A}}=A$

• $\overline{A^T}={\overline{A}}^T$

• 如果A是实矩阵,则$\overline{A}=A$

• 如果A是实对称阵,则$\overline{A^T}=A$

  • 对称阵:$A^T=A$
  • $\overline{A^T}=\overline{A}=A$

• $\overline{kA}=\bar{k}\overline{A}$

  • $k\in \mathbb{C}$

• 对于复数$x,y,$有$\bar{x}\bar{y}=\overline{xy}$

  • 特别的,$a\in \mathbb{R},\bar{a}=a$
    • $a\cdot \overline{x}=\overline{ax}$
      • $-\overline{x}=\overline{-x}$
      • $+\overline{x}=\overline{+x}$

• $\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}$

• $\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$

  • $c_{ij}={\sum }_i^l{a}_{ik}{b}_{kj}$
  • $\overline{c_{ij}}={\sum }_i^n\overline{a_{ik}{b}_{kj}}$
    • $={\sum }_i^n{\bar{a}}_{ik}\overline{b_{kj}}$

• $\overline{(AB{)}^T}=\overline{B^T{A}^T}=\overline{B^T}\overline{A^T}$

• 注意公式的逆用

  • $\overline{A}+\overline{B}=\overline{A+B}$
  • $\bar{A}\bar{B}=\overline{AB}$

• 公式推广

  • $$\begin{gathered} \sum \overline{a_i}=\overline{\sum a_i} \\ \prod _i\overline{a_i}=\overline{\prod _i{a}_i} \\ \sum _i\prod _j\overline{a_{i,j_i}}=\overline{\sum _i\prod _j{a}_{i,j_i}} \\ \sum _i{k}_i\prod _j\overline{a_{i,j_i}}=\overline{\sum _i{k}_i\prod _j{a}_{i,j_i}} \end{gathered}$$

• 若A可逆,则$\overline{A^{-1}}=(\overline{A}{)}^{-1}$

  • $$\begin{gathered} \overline{A}(\overline{A}{)}^{-1}=E \\ \overline{A}(\overline{A^{-1}})=\overline{A{A}^{-1}}=\overline{E}=E \end{gathered}$$

• $|\overline{A}|=\overline{|A|}$

  • $$|\overline{A}|=\sum _k{(-1)}^{\tau (p_k)}\prod _{i=1}^n\overline{{\theta }_i}=\overline{\sum _k{(-1)}^{\tau (p_k)}\prod _{i=1}^n{\theta }_i}=\overline{|A|}$$

定理@实对称阵的相关定理

• 实对称阵的特征值都是实数

  • 设$\lambda$是实对称阵A的任意一个特征值

    • $A\alpha =\lambda \alpha ,\alpha \ne 0$
      • $\bar{\alpha }\ne 0$
      • $(\bar{\alpha }{)}^T\alpha >0$
        • $(\bar{\alpha }{)}^T\alpha ={\sum }_i^n(a_i^2+b_i^2)$
    • $\overline{A}=A,A^T=A$
    • $(\overline{A}{)}^T=\overline{A^T}$

  • 需要证明的内容是$\bar{\lambda }=\lambda$

  • $$\begin{gathered} (\bar{\alpha }{)}^T(A\alpha )=(\bar{\alpha }{)}^T{A}^T\alpha =(A\bar{\alpha }{)}^T\alpha =(\bar{A}\bar{\alpha }{)}^T\alpha =(\overline{A\alpha }{)}^T\alpha \\ 两端分别用A\alpha =\lambda \alpha 代入 \\ (\bar{\alpha }{)}^T\lambda \alpha =(\overline{\lambda \alpha }{)}^T\alpha \\ \lambda (\bar{\alpha }{)}^T\alpha =(\overline{\lambda }\bar{\alpha }{)}^T\alpha =\overline{\lambda }(\bar{\alpha }{)}^T\alpha \\ (\lambda -\bar{\lambda })(\bar{\alpha }{)}^T\alpha =0 \end{gathered}$$

    • 这里左乘的是$(\bar{\alpha }{)}^T$而不是$\bar{\alpha }$是为了使得乘法可以执行(规格)
    • $(\bar{\alpha }{)}^T\alpha >0$,所以$\lambda -\bar{\lambda }=0$,即$\lambda =\bar{\lambda }$

• 实对称阵的关于不同特征值的特征向量彼此正交

  • 设$\lambda ,\mu$是实对称阵的两个不同的特征值($\lambda \ne \mu$),$A\alpha =\lambda \alpha ;A\beta =\mu \beta$

  • $$\begin{gathered} \lambda (\alpha ,\beta )=(\lambda \alpha ,\beta )=(A\alpha ,\beta ) \\ =(A\alpha {)}^T\beta ={\alpha }^T{A}^T\beta ={\alpha }^{T}A\beta ={\alpha }^T(A\beta ) \\ =(\alpha ,A\beta )=(\alpha ,\mu \beta )=\mu (\alpha ,\beta ) \\ (\lambda -\mu )(\alpha ,\beta )=0 \\ \because \lambda \ne \mu \\ \therefore (\alpha ,\beta )=0 \end{gathered}$$

  • $A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i$,$i=1,\cdots ,s$,$({\alpha }_i,{\alpha }_j)=0,({\lambda }_i\ne {\lambda }_j)$

    • s表示A有s个互异的特征值

• 实对称阵的可对角化条件和一般方阵可对角化的条件相仿

• n阶实对称阵一定有n个正交的单位特征向量$\Phi ={\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$

  • 因为可以将可对角化实对称阵的n个线性无关向量进行
    • Gram-Schmidt orthogonalization方法正交化
    • 再进行单位化
  • 记$Q=(\Phi )$,则:$Q^{-1}AQ=\Lambda =diag({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$

• 一定存在正交矩阵Q使得实对称阵A满足$Q^{-1}AQ=\Lambda$($\Lambda$为某个对角阵)

  • 换句话说,实对称阵一定可以正交相似对角化

• 如果实矩阵A和某个对角阵Q正交相似($Q^{-1}AQ=\Lambda$),则A一定是对称阵

  • ($Q^{T}Q=E$)
  • 当$A$正交相似于对角阵$\Lambda$时,即$Q^{T}AQ=\Lambda$
    • $A=(Q^T{)}^{-1}\Lambda Q^{-1}=(Q^{-1}{)}^T\Lambda Q^{-1}$
    • 而${\Lambda }^T=\Lambda$则:
      • $A^T=(Q^{-1}{)}^T{\Lambda }^T{Q}^{-1}=(Q^{-1}{)}^T\Lambda Q^{-1}$
    • 可见$A=A^T=(Q^{-1}{)}^T\Lambda Q^{-1}$,说明A是一个对称阵

• 方阵A正交相似于对角阵$\Lambda$当且仅当$A^T=A$

  • 换句话说,方阵A正交相似对角化当且仅当A是个对称阵