【动态规划】子序列系列

动态规划（子序列系列）

1. 最长递增子序列

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1. 状态表示

   dp[i]表示到 i 位置时，所有子序列当中最长的子序列的长度

2. 状态转移方程

   

3. 初始化

   表中的所有数据初始化为1

4. 填表

   从左到右

5. 返回值

   返回整个dp表里面最大的值

AC代码：

class Solution 
{
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> dp(n, 1);int ret = 1;for (int i = 1; i < n; i++){for (int j = 0; j < i; j++){if (nums[i] > nums[j]){dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}ret = max(ret, dp[i]);}return ret;}
};

2. 摆动序列

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1. 状态表示

   f[i]表示：以 i 位置为结尾的所有子序列当中，最后一个位置是上升的最长摆动序列的长度

   g[i]表示：以 i 位置为结尾的所有子序列当中，最后一个位置是下降的最长摆动序列的长度

2. 状态转移方程

   

3. 初始化

   表中的所有值初始化为1

4. 填表

   从左到右

5. 返回值

   返回两个表中的最大值

AC代码:

class Solution 
{
public:int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n, 1), g(n, 1);int ret = 1;for (int i = 1; i < n; i++){for (int j = 0; j < i; j++){if (nums[i] > nums[j]) f[i] = max(f[i], g[j] + 1);else if (nums[i] < nums[j]) g[i] = max(g[i], f[j] + 1);}ret = max(ret, max(f[i], g[i]));}return ret;}
};

3. 最长递增子序列的个数

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这里需要用到一种思想：

如何一次遍历数组，就可以找到最大数出现的次数

代码实现：

#include <iostream>using namespace std;int main()
{int arr[] = {2, 3, 1, 234, 43, 342, 234, 5, 34, 43, 8, 342};int n = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);int maxval = 0;int count = 0;for (int i = 0; i < n; i++){if (arr[i] > maxval) maxval = arr[i], count = 1;else if (arr[i] == maxval) count++;}cout << maxval << endl;cout << count << endl;return 0;
}

1. 状态表示

   len[i]表示以 i 位置为结尾所有子序列当中，最长递增子序列的长度

   count[i]表示以 i 位置为结尾所有子序列当中，最长递增子序列的个数

2. 状态转移方程

   

3. 初始化

   所有值都初始化为1

4. 填表

   从左到右

5. 返回值

   count表最后一个

AC代码：

class Solution 
{
public:int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> len(n, 1), count(n, 1);int retval = 1, retcount = 1;for (int i = 1; i < n; i++){for (int j = 0; j < i; j++){if (nums[i] > nums[j]){if (len[j] + 1 > len[i]) len[i] = len[j] + 1, count[i] = count[j];else if (len[j] + 1 == len[i]) count[i] += count[j];}}if (retval == len[i]) retcount += count[i];else if (retval < len[i]) retval = len[i], retcount = count[i];}return retcount;}
};

4. 最长数对链

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分析：状态表示以某个位置为结尾的时候，后面的元素不能影响当前的填表，但是这个题目已经影响打了，所有需要将数组排序

1. 状态表示

   dp[i]表示以 i 位置为结尾的所有数对链当中，最长的数对链的长度

2. 状态转移方程

   

3. 初始化

   所有初始化为1

4. 填表

   从做到右

5. 返回值

   返回整个表的最大值

AC代码：

class Solution 
{
public:int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) {sort(pairs.begin(), pairs.end());int n = pairs.size();vector<int> dp(n, 1);int ret = 1;for (int i = 1; i < n; i++){for (int j = 0; j < i; j++){if (pairs[i][0] > pairs[j][1]) {dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}ret = max(ret, dp[i]);}return ret;}
};

5. 最长定差子序列

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1. 状态表示

   dp[i]表示到 i 位置时，所有的子序列当中最长的定差子序列的长度

2. 状态转移方程

   

3. 初始化

   将第一个元素对应的dp值初始化为1

4. 填表

   从左到右

5. 返回值

   返回整个dp表里的最大值

AC代码：

class Solution 
{
public:int longestSubsequence(vector<int>& arr, int difference) {unordered_map<int, int> hash;hash[arr[0]] = 1;int ret = 1;for (int i = 1; i < arr.size(); i++){hash[arr[i]] = hash[arr[i] - difference] + 1;ret = max(ret, hash[arr[i]]);}return ret;}
};

6. 最长的斐波那契子序列的长度

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1. 状态表示

   dp[i][j]表示以 i j 为结尾的所有子序列当中，最长的斐波那契数列的长度

2. 状态转移方程

   

   优化：将数组的元素和下标绑定，方便查找

3. 初始化

4. 填表

5. 返回值

   返回值可能小于3， 这是应该返回0

AC代码：

class Solution 
{
public:int lenLongestFibSubseq(vector<int>& arr) {int n = arr.size();unordered_map<int, int> hash;for (int i = 0; i < n; i++) hash[arr[i]] = i;vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 2));int ret = 2;for (int j = 2; j < n; j++) // 固定最后一个位置{for (int i = 1; i < j; i++){int a = arr[j] - arr[i];if (a < arr[i] && hash.count(a)){dp[i][j] = dp[hash[a]][i] + 1;}ret = max(ret, dp[i][j]);}}return ret < 3 ? 0 : ret;}
};

7. 最长等差数列

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1. 状态表示

   dp[i][j] 表示 以 i j 为结尾的所有子序列当中最长的等差子序列的长度

2. 状态转移方程

   

   优化：一边dp一边保存离它最近元素的下标，当 i 位置填完之后将它填入哈希表中即可。所以需要先固定第倒数第二个元素，接着固定倒数第一个元素

3. 初始化

4. 填表

5. 返回值

   返回是整个dp表里的最大值

AC代码：

class Solution 
{
public:int longestArithSeqLength(vector<int>& nums) {unordered_map<int, int> hash;int n = nums.size();hash[nums[0]] = 0;vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 2));int ret = 2;for (int i = 1; i < n; i++){for (int j = i + 1; j < n; j++){int a = 2 * nums[i] - nums[j];if (hash.count(a)){dp[i][j] = dp[hash[a]][i] + 1;}ret = max(ret, dp[i][j]);}hash[nums[i]] = i;}return ret;}
};

8. 等差数列划分 || - 子序列

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1. 状态表示

   dp[i][j]表示以 i j 为是等差数列的子序列的个数

2. 状态表示

   

3. 初始化

4. 填表

5. 返回值

AC代码：

class Solution 
{
public:int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {int n = nums.size();unordered_map<long long, vector<int>> hash;for (int i = 0; i < n; i++) hash[nums[i]].push_back(i);vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));int sum = 0;for (int j = 2; j < n; j++) // 固定倒数第一个{for (int i = 1; i < j; i++){long long a = (long long)nums[i] * 2 - nums[j];if (hash.count(a)){for (auto k : hash[a]){if (k < i) dp[i][j] += dp[k][i] + 1;else break;}}sum += dp[i][j];}}return sum;}
};