数据结构 | 搜索和排序——搜索

目录

一、顺序搜索

二、分析顺序搜索算法

三、二分搜索

四、分析二分搜索算法

五、散列

5.1 散列函数

5.2 处理冲突

5.3 实现映射抽象数据类型

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搜索是指从元素集合中找到某个特定元素的算法过程。搜索过程通常返回True或False，分别表示元素是否存在。有时，可以修改搜索过程，使其返回目标元素的位置。

Python提供了运算符in，通过它可以方便地检查元素是否在列表中。

>>> 15 in [3,5,2,4,1]
False
>>> 3 in [3,5,2,4,1]
True

一、顺序搜索

存储在列表等集合中的数据项彼此存在线性或顺序关系，每个数据项的位置与其他数据项相关。在Python列表中，数据项的位置就是它的下标。因为下标是有序的，所以能够顺序访问，由此可以进行顺序搜索。

顺序搜索的原理：从列表中的第一个元素开始，沿着默认的顺序逐个查看，直到找到目标元素或者查完列表。如果查完列表后仍没有找到目标元素，则说明目标元素不在列表中。

无序列表的顺序搜索：

def sequentialSearch(alist,item):pos=0found=Falsewhile pos<len(alist) and not found:if alist[pos]==item:found=Trueelse:pos=pos+1return found

二、分析顺序搜索算法

在无序列表中进行顺序搜索时的比较次数

	最好情况	最坏情况	普通情况
存在目标元素	1	n	n/2
不存在目标元素	n	n	n

有序列表的顺序搜索：

def orderedSequentialSearch(alist,item):pos=0found=Falsestop=Falsewhile pos<len(alist) and not found and not stop:if alist[pos]==item:found=Trueelse:if alist[pos]>item:stop=Trueelse:pos=pos+1return found

只有当列表不存在目标元素时，有序排列元素才会提高顺序搜索的效率。

在有序列表中进行顺序搜索时的比较次数

	最好情况	最坏情况	普通情况
存在目标元素	1	n	n/2
不存在目标元素	1	n	n/2

三、二分搜索

在顺序搜索时，如果第一个元素不是目标元素，最多还要比较n-1次。但二分搜索不是从第一个元素开始搜索，而是从中间的元素着手。如果这个元素是目标元素，那就立即停止搜索；如果不是，则可以利用列表有序的特性，排除一半的元素。如果目标元素比中间的元素大，就可以直接排除列表左半部分和中间的元素。这是因为，如果列表包含目标元素，它必定位于右半部分。

有序列表的二分搜索：

def binarySearch(alist,item):first=0last=len(alist)-1found=Falsewhile first<=last and not found:midpoint=(first+last)//2if alist[midpoint]==item:found=Trueelse:if item<alist[midpoint]:last=midpoint-1else:first=midpoint+1return found

这个算法是分治策略的好例子。分治是指将问题分解成小问题，以某种方式解决小问题，然后整合结果，以解决最初的问题。对列表进行二分搜索时，先查看中间的元素。如果目标元素小于中间的元素，就只需要对列表的左半部分进行二分搜索。同理，如果目标元素更大，则只需对右半部分进行二分搜索。两种情况下，都是针对一个更小的列表递归调用二分搜索函数。

二分搜索的递归版本：

def binarySearch(alist,item):if len(alist)==0:return Falseelse:midpoint=len(alist)//2if alist[midpoint]==item:return Trueelse:if item<alist[midpoint]:return binarySearch(alist[:midpoint],item)else:return binarySearch(alist[midpoint+1:],item)

四、分析二分搜索算法

二分搜索算法的时间复杂度是O(logn)。

尽管二分搜索通常优于顺序搜索，但当n较小时，排序引起的额外开销可能并不划算。实际上应该始终考虑，为了提高搜索效率，额外排序是否值得。如果排序一次后能够搜索多次，那么排序的开销不值一提。然而，对于大型列表而言，只排序一次也会有昂贵的计算成本，因此从头进行顺序排序可能是更好的选择。

五、散列

通过散列可以构建一个时间复杂度为O(1)的数据结构。

散列表是元素集合，其中的元素以一种便于查找的方式存储。散列表中的每个位置通常被称为槽，其中可以存储一个元素。槽用一个从0开始的整数标记，例如0号槽、1号槽、2号槽，等等。初始情形下，散列表中没有元素，每个槽都是空的。可以用列表来实现散列表，并将每个元素初始化为Python中的特殊值None。

散列函数将散列表中的元素与其所属位置对应起来。对散列表中的任一元素，散列函数返回一个介于0和m-1之间的整数。首先来看第一个散列函数，它有时被称作“取余函数”，即用一个元素除以表的大小，并将得到的余数作为散列值。取余函数是一个很常见的散列函数，这是因为结果必须在槽编号范围内。

计算出散列值后，就可以将每个元素插入到相应的位置。在11个槽中，有六个被占用。占用率被称为载荷因子，记作，定义如下：=元素个数/散列表大小。

搜索目标元素时，仅需使用散列函数计算出该元素的槽编号，并查看对应的槽中是否有值。因为计算散列值并找到相应位置所需的时间是固定的，所以搜索操作的时间复杂是O(1)。

如果两个元素的散列值相同，散列函数会将两个元素都放入同一个槽，这种情况叫作冲突，也叫做“碰撞”。显然，冲突给散列函数带来了问题。

5.1 散列函数

给定一个元素集合，能将每个怨怒是映射到不同的槽，这种散列函数称作完美散列函数。

我们的目标是创建这样一个散列函数：冲突数最少，计算方便，元素均匀分布于散列表中。有多种常见的方法来扩展取余函数，下面介绍其中的几种。

折叠法先将元素切成等长的部分（最后一部分的长度可能不同），然后将这些部分相加，得到散列值。假设元素是电话号码436-555-4601，以2位为一组进行切分，得到43、65、55、46和01，将这些数字相加后，得到210.假设散列表有11个槽，接着需要用210除以1，并保留余数1，所以，电话号码436-555-4601被映射到散列表的1号槽。有些折叠法更进一步，在加总前每隔一个数反转一次。就本例而言，反转后的结果是：43+56+55+64+01=219，219%11=10。

另一个构建散列函数的数学技巧是平方取中法：先将元素取平方，然后提取中间几位数。如果元素是44，先计算44*44=1936，然后提取中间两位93，继续进行取余的步骤，得到5（93%11）。

我们也可以为基于字符的元素（比如字符串）创建散列函数。可以将单词"cat"看作序数值序列，如下所示：

>>> ord('c')
99
>>> ord('a')
97
>>> ord('t')
116

因此，可以将这些序数值相加，并采用取余法得到散列值。

def hash(astring,tablesize):sum=0for pos in range(len(astring)):sum=sum+ord(astring[pos])return sum%tablesize

有趣的是，针对异序词，这个散列函数总是得到相同的散列值。要弥补这一点，可以同字符位置作为权重因子。

def hash(astring,tablesize):sum=0for pos in range(len(astring)):sum=sum+ord(astring[pos])*(pos+1)return sum%tablesize

5.2 处理冲突

当两个元素被分到同一个槽中时，必须通过一种系统化方法在散列表中安置第二个元素。这个过程被称为处理冲突。

一种方法是在散列表中找到另一个空槽，用于放置引起冲突的元素。简单的做法是从起初的散列值开始，顺序遍历散列表，知道找到一个空槽。注意，为了遍历散列表，可能需要往回检查第一个槽。这个过程被称为开放定址法，它尝试在散列表中寻找下一个空槽或地址。由于是逐个访问槽，因此这个做法被称作线性探测。

线性探测有个缺点，那就是会使散列表中的元素出现聚集现象。也就是说，如果一个槽发生太多冲突，线性探测会填满附近的槽，而这会影响后续插的元素。要避免元素聚集，一种方法是扩展线性探测，不再依次顺序查找空槽，而是跳过一些槽，这样做能使引起冲突的元素分布得更均匀。采用“加3”探测策略处理冲突后的元素是指发生冲突时，为了找到空槽，该策略每次跳两个槽。

再散列泛指在发生冲突后寻找另一个槽的过程。采用线性探测时，再散列函数是newhashvalue=rehash(oldhanshvalue)，并且rehash(pos)=(pos+1)%sizeoftable。“加3”探测策略的再散列函数可以定义为rehash(pos)=(pos+3)%sizeoftable。也就是说，可以将再散列函数定义为rehash(pos)=(pos+skip)%sizeoftable。注意，“跨步（skip）的大小要能够保证表中所有的槽最终都被访问到，否则就会浪费槽资源。要保证这一点，常常建议散列表的大小为素数。

平方探测是线性探测的一个变体，它不采用固定的跨步，而是通过再散列函数递增散列值。如果第一个散列值是h，后续的散列值就是h+1、h+4、h+9、h+16，等等。换句话说，平方探测的跨步是一系列完全平方数。

另一种处理冲突的方法就是让每个槽有一个指向元素集合（或链表）的引用。链接法允许散列表中的同一个位置上存在多个元素。发生冲突时，元素仍然被插入其散列值对应的槽中。不过，随着同一个位置上的元素越来越多，搜索变得越来越困难。

5.3 实现映射抽象数据类型

字典是最有用的Python集合之一。字典是存储键-值对的数据类型。键用来查找关联的值，这个概念常常被称作映射。

映射抽象数据类型定义如下。它是将键和值关联起来的无序集合，其中的键是不重复的，键和值之间是一一对应的关系。映射支持以下操作。

• Map()创建一个空的映射，它返回一个空的映射集合。
• put(key,val)往映射中加入一个新的键值对。如果键已经存在，就用新值替换旧值。
• get(key)返回key对应的值。如果key不存在，则返回None。
• del通过del map[key]这样的语句从映射中删除键-值对。
• len()返回映射中存储的键-值对的数目。
• in通过key in map这样的语句，在键存在时返回True，否则返回False。

class HashTable:def __init__(self):self.size=11self.slots=[None]*self.sizeself.data=[None]*self.sizedef put(self,key,data):hashvalue=self.hashfunction(key,len(self.slots))if self.slots[hashvalue]==None:self.slots[hashvalue]=keyself.data[hashvalue]=dataelse:if self.slots[hashvalue]==key:self.data[hashvalue]=data  #替换else:nextslot=self.rehash(hashvalue,len(self.slots))while self.slots[nextslot]!=None and self.slots[nextslot]!=key:nextslot=self.rehash(nextslot,len(self.slots))if self.slots[nextslot]==None:self.slots[nextslot]=keyself.data[nextslot]=dataelse:self.data[nextslot]=data  #替换def hashfunction(self,key,size):return key%sizedef rehash(self,oldhash,size):return (oldhash+1)%sizedef get(self,key):startslot=self.hashfunction(key,len(self.slots))data=Nonestop=Falsefound=Falseposition=startslotwhile self.slots[position]!=None and not found and not stop:if self.slots[position]==key:found=Truedata=self.data[position]else:position=self.rehash(position,len(self.slots))if position==startslot:stop=Truereturn datadef __getitem__(self, key):return self.get(key)def __setitem__(self, key, data):self.put(key,data)if __name__=="__main__":H=HashTable()H[54]="cat"H[26]="dog"H[93]="lion"H[17]="tiger"H[77]="bird"H[31]="cow"H[44]="goat"H[55]="pig"H[20]="chicken"print(H.slots)print(H.data)print(H[20])print(H[17])H[20]="duck"print(H[20])print(H.data)print(H[99])

HashTable类的最后两个方法提供了额外的字典功能。我们重载__getitem__和__settiem__ ，以通过[ ]进行访问。这意味着创建HashTable类之后，就可以使用熟悉的索引运算符了。