algebraic reconstruction technique（ART）

数值线性代数的Kaczmarz方法被Gordon，Bender，Herman引入至CT重建中，称为ART方法。

$Ax=b$
$A$为$m\times n$的稀疏矩阵。
$A$的元素$a_{ij}$表示像素$j$对射线$i$投影的贡献。
$A$的行向量$a_i^T$表示一条射线。
一条射线的投影值为$a_i^{T}x=b_i$

$A^{T}b=x$表示反投影
$A=[a_0^T,a_1^T,...{]}^T$，$a_i^T$为$A$的行向量
$A^T=[a_0,a_1,...]$，$a_i$为$A^T$的列向量
$A^T=[c_0^T,c_1^T,...{]}^T$，$c_i$为$A^T$的行向量

任务：给定$A,b$，求解$x$，即给定系统与输出（投影），求解输入（图像）。

$x^{k+1}=x^k+{\lambda }_k{c}_i^T\frac{b_i-<a_i^T,x^k>}{|a_i^T{|}_2}$
松弛因子$0<{\lambda }_k\le 1$，减缓收敛速度

$b_i$表示真实采集到的投影值
$<a_i^T,x^k>$表示用当前的图像进行投影后，得到的伪投影值
$ϵ=b_i-<a_i,x^k>$表示投影残差
$c_i^T\frac{ϵ}{|a_i^T{|}_2}$表示对投影残差进行反投影，得到图像残差
经过不断迭代，图像残差收敛。