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【图论】单源最短路问题

Dijkstra算法 -- 这是我职业生涯中唯一一个会写,却叫不上名字的算法

Dijkstra算法是一种单源最短路径算法,用于找出图中从一个源点到其他所有点的最短路径。该算法的原理是采用贪心策略,每次将距离源点最近的点加入到已确定最短路径的集合中,并更新其它节点的距离。具体实现过程如下:

  1. 初始化距离数组dist[],源点距离为0,其余点距离为无穷大。

  2. 将所有点加入到未确定最短路径的集合中。

  3. 在未确定最短路径的集合中找出距离源点最近的节点v,并将其加入到已确定最短路径的集合中。

  4. 对节点v的所有邻居节点u进行更新,如果dist[u] > dist[v] + w(v,u),则更新dist[u] = dist[v] + w(v,u),其中w(v,u)是v到u的边权值。

  5. 重复步骤3和4,直到所有节点都被加入到已确定最短路径的集合中。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2),其中V为节点数。如果使用优先队列来优化实现,时间复杂度可以优化到O(ElogV),其中E为边数。

relax -- 松弛操作

松弛操作是指在图论中,对某个节点的估计值进行更新的过程。通常用于单源最短路径算法,例如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法中。具体来说,当我们使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法计算从源节点到其他节点的最短路径时,我们维护一个估计值列表,表示从源节点到每个节点的距离估计,随着算法的执行,我们逐步更新这个列表,直到找到最短路径。

对于Dijkstra算法,我们通过选择距离源节点最近的未标记节点来进行松弛操作,并更新源节点到该节点的距离估计值。以节点u为例,假设当前我们已经确定从源节点到节点u的距离估计值为d[u],而节点u有一个邻居节点v,且u和v之间有一条边e(u,v),边e(u,v)的权重为w(u,v),我们可以通过以下方式来更新v的距离估计值:

d[v] = min(d[v], d[u] + w(u,v))

其中,min表示取两个值的较小值,即如果u到v的距离比当前估计值更短,则更新d[v]为新的估计值。

对于Bellman-Ford算法,我们对所有的边进行松弛操作,直到不能再进行更新为止。以边e(u,v)为例,我们可以通过以下方式来更新v的距离估计值:

if d[u] + w(u,v) < d[v]:
    d[v] = d[u] + w(u,v)

其中,if语句的意思是,如果u到v的距离比当前估计值更短,则更新d[v]为新的估计值。

需要注意的是,Bellman-Ford算法可以处理负权边,而Dijkstra算法只适用于图中没有负权边的情况。

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