LinearAlgebraMIT_9_LinearIndependence/SpanningASpace/Basis/Dimension

这节课我们主要学习一下(Linear Independence)线性无关，(spanning a space)生成空间，(basis)基和(dimension)维度。同时我们要注意这四个很重要的基本概念的描述对象，我们会说向量组线性无关，由一个向量组生成的空间，子空间的基是一组向量组，但我们不会用这些词来修饰矩阵，至于维度则是一个数值，他是用于描述空间的维度，如列空间的维度，零空间的纬度，而不适用于描述矩阵。我们现在只会用矩阵的秩和主列的个数来描述矩阵。

x.1 Linear independence

我们首先给出(Linear independence)线性无关的定义：给定一组向量组，如果我们能找不到一组不全为0的数c1，c2…cn使得c1x1+c2x2+…+cnxn=0成立，则向量组线性无关。若找到线性组合系数，则线性相关。

接下来我们结合画图来理解下，假如在R2二维空间中，两个向量共线则易见相关，

若向量组中存在零向量，则一定相关，

下面这个则是线性无关，

但是三个向量则一定线性相关，那这是为什么呢？接下来，我们会将线性相关性和方程组求解，以及矩阵联系起来。我们在先前已经将方程组求解和矩阵联系起来过了。

我们将向量组以列向量的方式表示，化为矩阵A，我们发现这是一个自由度为3，约束条件为2的方程组，易于发现他是存在自由列的，

我们将线性无关和Ax=0零空间求解联系起来，我们得到如下定义：由列向量组组成的矩阵A，如果A的零空间只有零向量则向量组线性无关，如果零空间还有别的非零向量则向量组线性相关。

换言之，如果矩阵A满秩，即rank=r，即没有自由变量则线性无关；如果矩阵A不满秩，即rank<r，即有自由变量则线性相关。

x.2 Span a Space

对于生成一个空间，给定的定义如下：对于向量组v1，…，vn生成一个空间，即指这个空间包含这些向量的所有线性组合。

例如列空间即是由矩阵A的所有列向量生成的空间。

x.3 Basis

对于基的定义如下：对于向量组v1，…，vn他们首先是线性无关的；其他他们生成了一个空间。那么对于这个空间，它的基就是这一组向量组。

首先我们需要知道对于一个空间，构成他们的基的个数永远是相同的。即如果一个空间由3个基构成，如果你有3个线性无关的向量，则这3个向量构成的向量组就是这个空间的基。

基并不唯一，有无数多个。

x.4 Dimension

维数定义：基的个数即空间的维数。

所有我们有了一个重要性质，对于矩阵A，矩阵A的秩r=主列的个数=A的列空间的维数。

对于矩阵A，矩阵A的自由变量数n-r=自由列的个数=A的零空间的维数。