《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“造电梯”

《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

“ 造电梯” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1790

题目描述

【题目描述】 现在给你一张建筑的平面图，按照要求，建筑的每一个部分都应该是轮椅使用者可以到达的，这意味着必须安装电梯。
   给定的平面图是一个n*m的矩阵，里面的数字表示这个位置的高度。可以在建筑中的任意位置放置电梯，电梯可以停在所有楼层。
   需要保证可以使用电梯到达所有高楼层。相同高度的楼层之间是互通的，联通准则是四联通。
   需要求解最少需要多少个电梯，注意高度为1的不需要电梯。
   下图展示了样例2的可视化三维图。

【输入格式】 输入第一行为n和m(1≤n,m≤500)。
   接下来n行，每行m个整数xij，表示平面图，0≤xij≤10^9。
【输出格式】 输出最少电梯数量
【输入样例】

样例1：
2 3
1 2 3
1 3 2样例2：
6 7
0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 2 1 0
0 1 2 3 2 1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 5 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0

【输出样例】

样例1：
2样例2：
2

---

题解

   电梯是装在建筑内部的，例如样例2，高度5的柱子内部需要一个电梯，楼梯状的建筑也需要一个电梯。
   注意一个建筑内部可能需要不止一个电梯，例如平面上一个建筑的高度是{5, 2, 4}，那么需要在5和4上建2个电梯。
   本题是“洪水填充（《算法竞赛》清华大学出版社，罗勇军，郭卫斌著，120页，3.3 洪水填充）”的应用：从最高处开始倒水，那么水会平流或者往下流，这相当于建了一部电梯；这次倒水没有流到的地方，继续从下一个最高处倒水…
   以样例2为例：
   （1）从最高的“5”开始倒水，水会平流或往下流，那么会继续淹没所有的“0”。这次倒水相当于建设了一部电梯。没有被这次倒水淹没的有第二行和第三行的“1 2 3 2 1”，还有倒数第二行的“1”。
   （2）继续从剩下的最高点“3”开始倒水，水会平流或往下流，那么第二行和第三行的“1 2 3 2 1”，还有所有的“0”都会淹没。这次倒水也相当于建设了一部电梯。没有被这次倒水淹没的有倒数第二行的“1”，不过它不需要建设电梯。
   “洪水填充”用BFS或DFS都行，下面的代码用BFS实现。把平面的所有点放进优先队列，然后依次取出队列中的最高点，并从它开始“洪水填充”。
【重点】 洪水填充。

C++代码

   代码的计算复杂度，设平面上共n个点，每个点只需要处理一次，优先队列进出一次是O(logn)的，所以总复杂度O(nlogn)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dx[4] = { 1, 0, -1, 0 };  //上下左右
int dy[4] = { 0, 1, 0, -1 };
struct Point {int x, y, h;                     //坐标xy、高度hPoint(int x_, int y_, int h_) { x = x_; y = y_; h = h_; };bool operator<(const Point& r) const { return (h < r.h); }
};
int n, m;
int a[505][505];
bool done[505][505];  //done[x][y]=1表示(x,y)已经淹没
void floodfill(int x, int y) {      //“洪水填充”，平流或往下流done[x][y] = true;              //标记为淹没for (int i = 0; i < 4; i++) {    //扩散周围与它等高或矮的点int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];if (nx < 0 || nx >= m || ny < 0 || ny >= n || done[nx][ny]) continue;if (a[nx][ny] <= a[x][y])floodfill(nx, ny);   //继续“洪水填充”}
}
int main() {cin >> n >> m;priority_queue<Point> Q;   //优先队列，队首的h最大for (int j = 0; j < n; j++)for (int i = 0; i < m; i++) {cin >> a[i][j];done[i][j] = (a[i][j] <= 1);        //0和1标记为已经淹没if(a[i][j] > 1)Q.push(Point(i, j, a[i][j]));   //把点放进优先队列}int ans = 0;while (!Q.empty()) {Point p = Q.top();      //每次取出剩下的最高点Q.pop();if (!done[p.x][p.y]) {  //如果它没有淹没过，就“洪水填充”ans++;              //这次倒水相当于建设了一部电梯floodfill(p.x, p.y); //“洪水填充”}}cout << ans << endl;return 0;
}

Java代码

import java.util.*;
class Point implements Comparable<Point> {int x, y, h;public Point(int x_, int y_, int h_) {x = x_;y = y_;h = h_;}public int compareTo(Point r) { return Integer.compare(-h, -r.h);  }
}public class Main {static int[] dx = { 1, 0, -1, 0 };static int[] dy = { 0, 1, 0, -1 };static int n, m;static int[][] a;static boolean[][] done;public static void floodfill(int x, int y) {done[x][y] = true;for (int i = 0; i < 4; i++) {int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];if (nx < 0 || nx >= m || ny < 0 || ny >= n || done[nx][ny])continue;if (a[nx][ny] <= a[x][y])floodfill(nx, ny);}}public static void floodfill_bfs(int sx, int sy) {Queue<int[]> queue = new LinkedList<>();queue.add(new int[] { sx, sy });done[sx][sy] = true;while (!queue.isEmpty()) {int[] curr = queue.poll();int x = curr[0];int y = curr[1];for (int i = 0; i < 4; i++) {int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];if (nx >= 0 && nx < m && ny >= 0 && ny < n && !done[nx][ny] && a[nx][ny] <= a[x][y]) {queue.add(new int[] { nx, ny });done[nx][ny] = true;}}}}public static void main(String[] args) {Scanner input = new Scanner(System.in);n = input.nextInt();m = input.nextInt();a = new int[m][n];done = new boolean[m][n];PriorityQueue<Point> Q = new PriorityQueue<>();for (int j = 0; j < n; j++) {for (int i = 0; i < m; i++) {a[i][j] = input.nextInt();done[i][j] = (a[i][j] <= 1);if (a[i][j] > 1)    Q.add(new Point(i, j, a[i][j]));}}int ans = 0;while (!Q.isEmpty()) {Point p = Q.poll();if (!done[p.x][p.y]) {ans++;floodfill_bfs(p.x, p.y);}}System.out.println(ans);input.close();}
}

Python代码

from collections import deque
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readlinedx = [1, 0, -1, 0]
dy = [0, 1, 0, -1]
n, m = map(int, input().split())
a = [[0] * n for _ in range(m)]
done = [[False] * n for _ in range(m)]Q = []
for j in range(n):row_a = list(map(int, input().split()))for i in range(m):a[i][j] = row_a[i]if a[i][j] <= 1:  done[i][j]=Trueelse:             heapq.heappush(Q, (-a[i][j], i, j)) 
ans = 0 
while Q:_, sx, sy = heapq.heappop(Q)if not done[sx][sy]:ans += 1q = deque([(sx, sy)])done[sx][sy] = True while q:x, y = q.popleft()for i in range(4):nx, ny = x + dx[i], y + dy[i]if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n and not done[nx][ny] and a[nx][ny] <= a[x][y]:q.append((nx, ny))done[nx][ny] = True
print(ans)