matlab解常微分方程常用数值解法2：龙格库塔方法

总结和记录一下matlab求解常微分方程常用的数值解法，本文将介绍龙格库塔方法（Runge-Kutta Method）。

龙格库塔迭代的基本思想是：

$$x_{k+1}=x_k+a{k}_1+b{k}_2$$

$$k_1=hf\left(x_k,t_k\right)\text{ and }{k}_2=hf\left(x_k+B_1{k}_1,t_k+A_{1}h\right)$$

其中$a,b,A_1,B_1$是未知的，我们进行推导。

首先对$f(x+k,t+h)$进行泰勒展开：

$$\begin{array}{rl}f(x+k,t+h)& =f(x,t)+\left(k{f}_x+h{f}_t\right)+\frac{1}{2}\left(k^2{f}_{xx}+2kh{f}_{xt}+h^2{f}_{tt}\right)\\ & +\frac{1}{6}\left(k^3{f}_{xxx}+3k^{2}h{f}_{xxt}+3k{h}^2{f}_{xtt}+h^3{f}_{ttt}\right)+\cdots \end{array}$$
利用泰勒展开我们展开$k_2$：
$$\begin{array}{rl}{k}_2& =hf\left[x_k+B_{1}hf\left(x_k,t_k\right),t_k+A_{1}h\right]\\ & =h\left[f\left(x_k,t_k\right)+\left(B_{1}hf{f}_x+A_{1}h{f}_t\right)\right]\\ & =hf+A_1{h}^2{f}_t+B_1{h}^{2}f{f}_x,\end{array}$$
上式中的$f$为$f(x_k,t_k)$，我们将上式代回到最开始的式子$x_{k+1}=x_k+a{k}_1+b{k}_2$得到(*)式

$$x_{k+1}=x_k+(a+b)hf+\left(A_{1}b{f}_t+B_{1}bf{f}_x\right)h^2(\ast )$$

对应于二阶泰勒展式：

$$x_{k+1}=x_k+h{x}_k^{\prime }+\frac{1}{2}{h}^2{x}_k^{\prime \prime }$$

对于微分方程我们知道$x^{\prime }=f(x,t)$，于是对$t$求二阶导数：

$$x^{\prime \prime }=f_t+f_x{x}^{\prime }=f_t+f{f}_x$$

于是有：

$$x_{k+1}=x_k+hf+\frac{1}{2}{h}^2\left(f_t+f{f}_x\right)$$

对比(*)式我们有：

$$a+b=1,A_{1}b=\frac{1}{2},\text{ and }{B}_{1}b=\frac{1}{2}\text{. }$$

如果我们取$a=b=\frac{1}{2}$，那么$A_1=B_1=1$，为二阶的龙哥库塔算法。其形式和改进的欧拉法一致:

$$x_{k+1}=x_k+\frac{1}{2}\left(k_1+k_2\right)$$

从二阶的出发，我们可以得到改进的一套更好的框架，一个常用的龙哥库塔方法是四阶的：

$$x_{k+1}=x_k+\frac{1}{6}\left(k_1+2k_2+2k_3+k_4\right)\text{, }$$

其中：

$$\begin{array}{rl}& k_1=hf\left(x_k,t_k\right)\\ & k_2=hf\left(x_k+\frac{1}{2}{k}_1,t_k+\frac{1}{2}h\right)\\ & k_3=hf\left(x_k+\frac{1}{2}{k}_2,t_k+\frac{1}{2}h\right)\\ & k_4=hf\left(x_k+k_3,t_k+h\right)\end{array}$$

例子

$$x^{\prime }=x+t,x(0)=1$$

clc
clear
% 测试4个不同的步长
test_times = 3;
h_test = [0.10, 0.05, 0.01];%根据步长数改变% 保存时间、差分时间和步长
h_res=ones(1,test_times);
t_res=cell(1,test_times);%时间
tplot_res=cell(1,test_times);%差分的时间，比时间长度少1
% 保存两种数值方法和解析解的计算结果
x_rk_res=cell(1,test_times);
x_exact_res=cell(1,test_times);
% 保存误差
diff_res=cell(1,test_times);for i = 1:test_times
% 设置步长间隔和步长数h = h_test(i);n = 10/h;
% 设置初始条件t=zeros(n+1,1); t(1) = 0;x_rk=zeros(n+1,1); x_rk(1) = 1;x_exact=zeros(n+1,1); x_exact(1) = 1;
% 设置龙哥库塔方法误差存放向量（和精确解比较）diff = zeros(n,1); tplot = zeros(n,1);
% 定义微分方程f = @(tt,xx)(xx+tt);for k = 1:nx_local = x_rk(k); t_local = t(k);k1 = h * f(t_local,x_local);k2 = h * f(t_local + h/2,x_local + k1/2);k3 = h * f(t_local + h/2,x_local + k2/2);k4 = h * f(t_local + h,x_local + k3);t(k+1) = t_local + h;x_rk(k+1) = x_local + (k1+2*k2+2*k3+k4) / 6;x_exact(k+1) = 2*exp(t(k+1)) - t(k+1) - 1;tplot(k) = t(k);diff(k) = x_rk(k+1) - x_exact(k+1);diff(k) = abs(diff(k) / x_exact(k+1));enddiff_res{i}=diff;tplot_res{i}=tplot;h_res(i)=h;x_rk_res{i}=x_rk;x_exact_res{i}=x_exact;t_res{i}=t; 
endfigure
% 不同步长下的解析解和龙哥库塔法的结果
for i=1:test_timessubplot(2,2,i)plot(t_res{i},x_exact_res{i},'r-',t_res{i},x_rk_res{i},'b--')xlabel('t','Fontsize',18)ylabel('x','Fontsize',18)legend({'Analytical method','Runge-Kutta method'},'Location','best')legend boxoff;title(['h = ',num2str(h_res(i))]);axis tight
end% 相对误差图
subplot(2,2,4)
for i = 1:test_timessemilogy(tplot_res{i},diff_res{i},'b-')hold onnum1 = 2; num2 = 2/h_test(i);text(num1,diff_res{i}(num2),['h = ',num2str(h_res(i))],'Fontsize',15,...'HorizontalAlignment','right',...'VerticalAlignment','bottom')
end
xlabel('t','Fontsize',20)
ylabel('|relative error|','Fontsize',20)
title('Runge-Kutta method''s relative error')

可以看到使用龙格库塔法，步长$h=0.1$精度就已经很高了。