视觉slam十四讲---第一弹三维空间刚体运动

1.旋转矩阵

1.1内积

 1.2外积

 1.3坐标系间的欧式变换

相机运动是一个刚体运动，它保证了同一个向量在各个坐标系下的长度和夹角都不会 发生变化。这种变换称为欧氏变换。

旋转矩阵：它是一个行列式为 1 的正交矩阵。

旋转矩阵为正交阵，它的逆（即转置）描述了一个相反的旋转。

 加上平移：

 1.4变换矩阵与齐次坐标

 关于变换矩阵 T，它具有比较特别的结构：左上角为旋转矩阵，右侧为平移向量，左 下角为 0 向量，右下角为 1。这种矩阵又称为特殊欧氏群（Special Euclidean Group）：

 求解该矩阵的逆表示一个反向的变换：

 2.Eigen库---线性代数库

#include <Eigen/Core>   //核心部分
#include <Eigen/Dense>  //稠密矩阵的代数运算（逆、特征值等）
using namespace Eigen;
//所有的向量，矩阵都是 
Matrix<数据类型，行，列>
Vector3d实质是 Matrix<double,3,1>
可以直接求逆   QR分解  cholesky分解

 Eigen对数据类型转换严格，可以通过显示转换来完成转换。

3.旋转向量和欧拉角 

3.1旋转向量 

事实上， 任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。

于是，我们可以使用一个 向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角。这种向量，称为旋转向量（或轴角，AxisAngle）。这种表示法只需一个三维向量即可描述旋转。同样，对于变换矩阵，我们使用一 个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。这时的维数正好是六维。

旋转向量和旋转矩阵 之间是如何转换的呢？假设有一个旋转轴为 n，角度为 θ 的旋转，显然，它对应的旋转向 量为 θn。由旋转向量到旋转矩阵的过程由罗德里格斯公式

 3.2欧拉角

 欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题（Gimbal Lock①）：在俯仰角为 ±90◦ 时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由三次 旋转变成了两次旋转）。这被称为奇异性问题，在其他形式的欧拉角中也同样存在。

4.四元数  

 既是紧凑的，也没有奇异性。如果说缺点的话，四元数不够直观，其运算稍为复杂一些。

 这式子给我们一种微妙的“转了一半”的感觉。同样，对式（3.19）的 θ 加上 2π，我们得到一个相同的旋转，但此时对应的四元数变成了 −q。因此，在四元数中，任意的旋转都可以由两个互为相反数的四元数表示。

 四元数和自己的逆的乘积为实四元数的 1：

 5.四元数到旋转矩阵的转换

 6.变换性质