第四章，向量组，2-矩阵等价与向量组等价的关系

玩转线性代数(23)线性组合与线性表示的应用的笔记，相关证明以及例子见原文

矩阵乘法与线性表示

设有$A_{m\ast n}{B}_{n\ast l}=C_{m\ast l}$，那么A、B矩阵的行、列向量组与C的行、列向量组之间有什么关系呢？
先看C的行向量组，$C=AB$，根据初等变换的知识，A在B左边，说明是对B进行的行变换（此时的行变换不一定是初等行变换，也不一定是可逆的），将B的行变成了C的行，故C的行向量组可以由B的行向量组来线性表示，如下：
$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1^T\\ b_2^T\\ ⋮\\ b_n^T\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{c}_1^T\\ c_2^T\\ ⋮\\ c_m^T\end{array}\right)$$
同理，C的列向量组可由A的列向量组线性表示
$$\left(\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_l\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots & b_{nl}\end{array}\right)$$

矩阵等价与向量组等价

矩阵等价是两个矩阵可经过初等变换来相互转化；两个向量组等价是指它们可以相互线性表示。两个向量组等价的判断条件也已经清楚，就是$R(A)=R(B)=R(A,B)$
矩阵等价有行等价、列等价和等价有一种形式，如何判断两个矩阵等价？首先矩阵是同型矩阵，其次矩阵A与B的秩相等。因为若$R(A)=R(B)$，则A与B的标准形是相同的，即
$A\sim F=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$,同时$B\sim F=\left(\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$
根据等价矩阵的传递性知，$A\sim B$。
由此可知，对两个向量组$A:a_1,a_2,\cdots ,a_m,B:b_1,b_2,\cdots ,b_l$和两个矩阵$A=(a_1,a_2,\cdots ,a_m),B:(b_1,b_2,\cdots ,b_l)$，向量组A与B等价$\Rightarrow$矩阵A与B等价，反之不成立。

若矩阵A与B等价，可以推出的结论：
（1）若$A_{\sim }^{r}B$，则存在可逆矩阵P，使PA=B，即B=PA，所以B的行向量组可由A的行向量组线性表示，同时有$A=P^{-1}B$，所以A的行向量组也可以由B的行向量组线性表示，说明A与B的行向量组等价；
（2）若$A_{\sim }^{c}B$，A与B的列向量组是等价的。

其实线性表示与线性组合这些概念也可以用到方程组上．对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若其中一个方程可以写成其它方程的线性组合，则称该方程可由其它方程线性表示，若方程组B的每个方程都可由方程组A的线性表示，就称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组A 的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等价的方程组一定同解

为什么方程组B能由方程组A线性表示，方程组A 的解一定是方程组B的解？
理解：方程组B能由方程组A线性表示，即若$x\in A$一定有$x\in B$，所以A的解都是B的解，B的解集合范围大。