高等数学：线性代数-第三章

第3章 矩阵的初等变换与线性方程组

3.1 矩阵的初等变换

矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等变换

对换两行（列），记作 $r_i\leftrightarrow r_j(c_i\leftrightarrow c_j)$
以数 $k\ne 0$ 乘某一行（列）中的所有元，记作 $r_i\times k（c_i\times k）$
把某一行（列）所有元的 k 倍加到另一行（列）对应的元上去，记作 $r_i+k{r}_i（c_i+k{c}_i）$
矩阵等价 如果矩阵 $\mathbf{A}$ 经过优有限次初等变换变成矩阵 $\mathbf{B}$ ，就称矩阵 $\mathbf{A}$ 与矩阵 $\mathbf{B}$ 等价，记作 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ .

矩阵等价满足：
$$\mathbf{A}\sim \mathbf{A}$$
若
$$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$$
则
$$\mathbf{B}\sim \mathbf{A}$$
若
$$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$$
$$\mathbf{B}\sim \mathbf{C}$$
则
$$\mathbf{A}\sim \mathbf{C}$$
定理 设 $\mathbf{A}$与 $\mathbf{B}$ 为 $m\times n$矩阵，那么

$\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$的充分必要条件是 $\exists \mathbf{P}=(p_{ij}{)}_{m\times m},|\mathbf{P}|\ne 0s.t.\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{B}$
$\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$的充分必要条件是 $\exists \mathbf{Q}=(q_{ij}{)}_{n\times n},|\mathbf{Q}|\ne 0s.t.\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$
$\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$的充分必要条件是 $\exists \mathbf{P}=(p_{ij}{)}_{m\times m},\mathbf{Q}=(q_{ij}{)}_{n\times n},|\mathbf{P}|\ne 0,|\mathbf{Q}|\ne 0s.t.\mathbf{PAQ}=\mathbf{B}$

3.2 矩阵的秩

子式 在 $m\times n$矩阵 $\mathbf{A}$中，任取 k 行 k 列，位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变它们在 $\mathbf{A}$中所处的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 $\mathbf{A}$的 k 阶子式。

秩 若矩阵 $\mathbf{A}$中存在一个不为零的 r 阶子式，且所有 r+1 阶子式全为零，那么数 r 称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩，记作 $R(\mathbf{A})$. 规定零矩阵的秩为 0 .

矩阵的秩有以下性质：
0 ≤ R ( ( a i j ) m × n ) ≤ min ⁡ { m , n } R ( ( A ) T ) = R ( A ) ∣ ( a i j ) n × n ∣ = 0 , R ( ( a i j ) n × n ) < n 0\leq R((a_{ij})_{m \times n})\leq\min\{m,n\} R((\bm A)^\mathrm T) = R(\bm A) |(a_{ij})_{n \times n}|=0,~ R((a_{ij})_{n \times n})<n 0≤R((aij​)m×n​)≤min{m,n}R((A)T)=R(A)∣(aij​)n×n​∣=0, R((aij​)n×n​)<n
若 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ ，则 R ( A ) = R ( B ) max ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) + R ( B ) R(\bm A)=R(\bm B) \max\{R(\bm A),R(\bm B)\}\leq R(\bm A,\bm B)\leq R(\bm A)+R(\bm B) R(A)=R(B)max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
$$R(\mathbf{A}+\mathbf{B})\le R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})$$
R ( A B ) ≤ min ⁡ { R ( A ) , R ( B ) } R(\bm{AB})\leq\min\{R(\bm A),R(\bm B)\} R(AB)≤min{R(A),R(B)}
若 ${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{B}}_{n\times l}=\mathbf{O}$，则 $R(\mathbf{A})+R(\mathbf{B})\le n$

3.3 方程组的解

$\mathbf{n}$ 元齐次线性方程组解的判定 n 元齐次线性方程组 $\mathbf{Ax}=0$ 解的情况如下：

有非零解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})<n$，即 $|\mathbf{A}|=0$
只有零解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=n$ ，即 $|\mathbf{A}|\ne 0$
$\mathbf{n}$ 元非齐次线性方程组解的判定 n 元非齐次线性方程组 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ 解的情况如下：

无解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})<R(\mathbf{A},\mathbf{b})$
有解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{b})$ ，其中
有惟一解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{b})=n$
有无穷多解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{b})<n$
矩阵方程解的判定 矩阵方程 $\mathbf{AX}=\mathbf{B}$ 解的情况如下：

无解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})<R(\mathbf{A},\mathbf{B})$
有解的充分必要条件是 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{B})$