算法训练营 day50 动态规划 单词拆分 多重背包理论基础

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单词拆分

139. 单词拆分 - 力扣（LeetCode）

给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。

注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

单词就是物品，字符串s就是背包，单词能否组成字符串s，就是问物品能不能把背包装满。

拆分时可以重复使用字典中的单词，说明就是一个完全背包！

1. 确定dp数组以及下标的含义

   dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

2. 确定递推公式

   如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true。（j < i ）。

   所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。

3. dp数组如何初始化

   从递推公式中可以看出，dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true，那么dp[0]就是递推的根基，dp[0]一定要为true，否则递推下去后面都都是false了。

4. 确定遍历顺序

   题目中说是拆分为一个或多个在字典中出现的单词，所以这是完全背包。

   还要讨论两层for循环的前后顺序。

   如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

   如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

   而本题其实我们求的是排列数，为什么呢。 拿 s = “applepenapple”, wordDict = [“apple”, “pen”] 举例。“apple”, “pen” 是物品，那么我们要求 物品的组合一定是 “apple” + “pen” + “apple” 才能组成 “applepenapple”。

   “apple” + “apple” + “pen” 或者 “pen” + “apple” + “apple” 是不可以的，那么我们就是强调物品之间顺序。所以说，本题一定是 先遍历 背包，再遍历物品。

5. 举例推导dp[i]

   以输入: s = “leetcode”, wordDict = [“leet”, “code”]为例，dp状态如图：

dp[s.size()]就是最终结果。

class Solution {public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {boolean[] dp = new boolean[s.length()+1];Arrays.fill(dp,false);dp[0] = true;HashSet<String> set = new HashSet<>(wordDict);for (int i = 1; i <=s.length(); i++) {for (int j = 0; j <i; j++) {if (set.contains(s.substring(j,i)) && dp[j]){dp[i] = true;}}}return dp[s.length()];}
}

多重背包理论基础

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？

每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

例如：

背包最大重量为10。

物品为：

	重量	价值	数量
物品0	1	15	2
物品1	3	20	3
物品2	4	30	2

问背包能背的物品最大价值是多少？

和如下情况有区别么？

	重量	价值	数量
物品0	1	15	1
物品0	1	15	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品2	4	30	1
物品2	4	30	1

毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。

改变物品数量为01背包格式

public void testMultiPack1(){// 版本一：改变物品数量为01背包格式List<Integer> weight = new ArrayList<>(Arrays.asList(1, 3, 4));List<Integer> value = new ArrayList<>(Arrays.asList(15, 20, 30));List<Integer> nums = new ArrayList<>(Arrays.asList(2, 3, 2));int bagWeight = 10;for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {while (nums.get(i) > 1) { // 把物品展开为iweight.add(weight.get(i));value.add(value.get(i));nums.set(i, nums.get(i) - 1);}}int[] dp = new int[bagWeight + 1];for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight.get(i); j--) { // 遍历背包容量dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight.get(i)] + value.get(i));}System.out.println(Arrays.toString(dp));}
}

版本二：改变遍历个数

public void testMultiPack2(){// 版本二：改变遍历个数int[] weight = new int[] {1, 3, 4};int[] value = new int[] {15, 20, 30};int[] nums = new int[] {2, 3, 2};int bagWeight = 10;int[] dp = new int[bagWeight + 1];for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量// 以上为01背包，然后加一个遍历个数for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);}System.out.println(Arrays.toString(dp));}}
}