n-皇后问题(DFS)
n−皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上,使得皇后不能相互攻击到,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。
现在给定整数 n,请你输出所有的满足条件的棋子摆法。
输入格式
共一行,包含整数 n。
输出格式
每个解决方案占 n 行,每行输出一个长度为 n 的字符串,用来表示完整的棋盘状态。
其中 .
表示某一个位置的方格状态为空,Q
表示某一个位置的方格上摆着皇后。
每个方案输出完成后,输出一个空行。
注意:行末不能有多余空格。
输出方案的顺序任意,只要不重复且没有遗漏即可。
数据范围
1≤n≤9
输入样例:
4
输出样例:
.Q..
...Q
Q...
..Q...Q.
Q...
...Q
.Q..
这题的难度就在于对于斜边的判定处理,解释放在代码里,这里直接给出代码
代码如下:
1.第一种方式(在看懂题意下可以知道每行只能放一个皇后,这样写代码更简单时间复杂度,推荐)
//第一种搜索方式
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20;
int n;
char g[N][N];
//由于国际象棋皇后的十字方向以及斜方向都能走,因此每行只能放一个皇后,定义一个行数组xiaochou,正斜线xie,反斜线fxie
bool xiaochou[N],xie[N],fxie[N];void dfs(int u)//u表示遍历到数组第u行
{if(u==n)//当遍历到第n-1行时已经进行完成,等于n直接输出{for(int i=0;i<u;i++) puts(g[i]);puts("");return;}for(int i=0;i<n;i++){if(!xiaochou[i]&&!xie[u+i]&&!fxie[n-u+i])//这里运用到一个数学知识,正对角线该点为u+i,其交叉对于的反对角线为n-u+i{g[u][i]='Q';xiaochou[i]=xie[u+i]=fxie[n-u+i]=true;dfs(u+1);xiaochou[i]=xie[u+i]=fxie[n-u+i]=false;//记得回溯g[u][i]='.';}}
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++) g[i][j]='.';}dfs(0);return 0;
}
2.第二种方式(一个格子一个格子去枚举判断,比较容易理解,但时间复杂度要大一点)
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20;
int n;
char g[N][N];
//由于国际象棋皇后的十字方向以及斜方向都能走,第二种方法就是把每个格子都枚举一遍
//设置row行数组,col列数组以及两个对角线数组,来判断皇后能不能放
bool row[N],col[N],xie[N],fxie[N];void dfs(int x,int y,int s)//x和y分别表示枚举该数组到啥位置的行列坐标,s表示已经放了几个皇后
{if(y==n) y=0,x++;//每行列举完最后一列的时候,跳到下一行的第一列if(x==n){if(s==n){for(int i=0;i<n;i++) puts(g[i]);puts("");}return;}//不放皇后dfs(x,y+1,s);//放皇后if(!row[x]&&!col[y]&&!xie[x+y]&&!fxie[x-y+n]){g[x][y]='Q';row[x]=col[y]=xie[x+y]=fxie[x-y+n]=true;dfs(x,y+1,s+1);row[x]=col[y]=xie[x+y]=fxie[x-y+n]=false;g[x][y]='.';}
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++) g[i][j]='.';}dfs(0,0,0);return 0;
}
难点总结:
这题需要补充的知识点就是关于对角线如何处理的问题,这里设置正对角线数组和反对角线数组来处理,正对角线为蓝色下标从左上角开始,反对角线为绿色下标从右上角开始,这里因为只要对角线中有一个皇后剩下的都不能放,所以可以看成一个bool类型的一维数组,而难处也在于bool数组的下标应该如何设置,
对于正对角线(如下图),规律就是其对角线格子横坐标加上纵坐标相等,因此代码中为x+y,
对于反对角线,为x-y+n,这里加n是为了不出现负数
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