6.8 左特征向量

  特征值很复杂，除了普通的特征向量外，还有左特征向量和广义特征向量。先说说比较容易的左特征向量吧。它是这样定义的，$A$是一个矩阵，$\lambda$是它的一个特征值，下面的向量$y$就是矩阵关于特征值的左特征向量left eigenvector：
$$y^{H}A=\lambda y^H$$
  以这个矩阵为例子：
$$\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$$
  它的特征多项式是$(\lambda -2{)}^2(\lambda -1)$，所以特征值是$2,2,1$。以$1$这个特征值为例子，求它的左特征向量：
$$y^H\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 2\end{array}\right)=y^H$$
  这就是解方程了：
$$\left(\begin{array}{ccc}{y}_1& y_2& y_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{y}_1& y_2& y_3\end{array}\right)$$
  其实这个方程可以改写为：
$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)y=y \\ y=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right) \end{gathered}$$
  所以A的左特征向量其实就是$A^H$的特征向量。所以求左特征向量的python代码也比较容易：

    # 特征向量def eigen_vector(self, eigen_value):n = len(self.__vectors)a = Matrix(Matrix.unit_matrix(n)) * eigen_valuereturn (self-a).non_homogeneous_solution([0] * n)[1:]# 左特征向量def left_eigen_vector(self, eigen_value):return self.transpose_matrix().eigen_vector(eigen_value)