【考研数学】矩阵、向量与线性方程组解的关系梳理与讨论

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引言

两个原因让我想写这篇文章，一是做矩阵题目的时候就发现这三货经常绑在一起，让人想去探寻其中奥秘；另一就是今天学了向量组的秩，让我想起来了之前遗留下来的一个问题：到底存不存在系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之差比 1 大的情况？可能这个问题有点抽象，不过看了下面的具体说明应该就能理解了。

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一、回顾

问题起因是这样，我在写行列式的文章中关于克莱姆法则应用的说法是这样的：

有读者建议，把方程组无解的情况别写成 $r(A)\ne r(\overline{A})$ ，而写成 $r(A)+1=r(\overline{A})$ . 我当时还未复习到方程组和向量部分，有这样的疑问：为什么非得是相差 1 ，我如果 $A$ 有很多行为 0 ，增广矩阵的秩不就可以比系数矩阵大不止 1 吗？

我当时隐约感觉是行秩和列秩模糊的问题。一方面矩阵中，我们比较常用的是初等行变换，忽视了列变换以及列秩，另一方面，列秩在方阵中和行秩是一样的。

起初我也是认为，列秩没什么用的，直到学到了向量这一部分。由于一般我们指的向量是列向量，那么由一个向量组构成的矩阵，自然考虑的是列秩。

因此我们针对一个一般性的 $m\times n$ 矩阵或 $n$ 个 $m$ 维的向量组进行梳理，请看下文。

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二、梳理

对于一般齐次线性方程组：

以及一般非齐次线性方程组：

令 ${\alpha }_1=(a_{11},a_{21},\dots ,a_{m1}{)}^T,{\alpha }_2=(a_{12},a_{22},\dots ,a_{m2}{)}^T,\dots ,{\alpha }_n=(a_{1n},a_{2n},\dots ,a_{mn}{)}^T,b=(b_1,b_2,\dots ,b_m{)}^T$ ，则方程组（I）（II）可表示为如下向量形式：$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=0（1.1）$$$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=b（2.1）$$

令 $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$ ，矩阵 $A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n]$ ，即

则方程组（I）（II）可表示为如下矩阵形式：$$AX=0（1.2）$$$$AX=b（2.2）$$

齐次线性方程组

对于齐次线性方程组（I），它有 $m$ 个约束方程，$n$ 个未知数。首先我们应了解的是，不管方程个数和未知数个数多少，不可能无解，都是存在零解的。我们要讨论，就是讨论有没有非零解。我们分三种情况：

（一）$m<n.$

此时齐次线性方程组约束条件个数小于未知数，必有一个未知数无法受限制，如果那个不受限制的未知数取非零的话，就存在非零解。那么向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 必线性相关，则该向量组的秩 $<n$ ，根据三秩相等性质，$r(A)<n.$

这种情况其实没什么好讨论的，因为肯定存在非零解，所以这也是为什么书上很少提及的情况吧。

（二）$m=n.$

此时就有讨论的必要了，因为方程组可能只有零解，也可能有非零解。

若齐次方程组只有零解 $\iff$ 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关 $\iff$ $r(A)=n.$

我们此时可以得出 $|A|\ne 0$，即因为系数矩阵是方阵且满秩。

若齐次方程组有非零解 $\iff$ 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性相关 $\iff$ $r(A)<n.$

为什么是小于 $n$ 呢？因为构成系数矩阵的列向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$的秩小于 $n$ ，根据三秩相等性质，该矩阵的秩亦小于 $n$ 。

（三）$m>n.$

此时约束方程个数更多，不过不影响什么。系数矩阵的秩仍然是满足 $r(A)\le n,$ 同样有和第 2 种情况一样的的结论。

把这三种情况总结起来，其实还是第二种情况的结论。因此不论是否是方阵，未知数和方程的个数如何，都有如下结论：即

• 齐次方程组只有零解 $\iff$ 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关 $\iff$ $r(A)=n.$
• 齐次方程组有非零解 $\iff$ 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性相关 $\iff$ $r(A)<n.$

非齐次线性方程组

对于非齐次线性方程组（II），它有 $m$ 个约束方程，$n$ 个未知数，右端常数向量为 $b=(b_1,b_2,\dots ,b_m)\text{b=(b1,b2,…,bm)}b=(b_1,b_2,\dots ,b_m)$ ，增广矩阵为 $\overline{A}=[A|b].$

我们从其对应的齐次线性方程组（I）出发，由于在齐次方程组中已经讨论了行数和列数的三种情况，因此在非齐次中不再分三种情况了，有兴趣同学可以也分三种情况去讨论，得到的结论应该也是一样的。

若（I）只有零解，根据上述结论，有向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关且 $r(A)=n.$

接下来我们讨论此时非齐次的情况，若非齐次线性方程组（II）无解，则向量 $b\text{b}b$ 不能被无关的向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表示，故增广矩阵的列向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b\text{α1,α2,…,αn,b}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ 也线性无关，可得 $r(\overline{A})=n+1$ . 若非齐方程组（II）有解，则向量 $b\text{b}b$ 能被向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表示，故增广矩阵的列向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b\text{α1,α2,…,αn,b}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ 线性相关，可得 $r(\overline{A})<n+1$ . 又因为向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关，故 $r(\overline{A})=n=r(A).$

若方程组（II）对应的齐次方程组（I）有非零解，根据前一部分的结论，方程组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性相关且 $r(A)<n.$

我们讨论此时的非齐次方程组（II）的情况，若方程组（II）无解，则向量 $b\text{b}b$ 不能被向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表示，但由于向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 是线性相关的，故增广矩阵的列向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b\text{α1,α2,…,αn,b}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ 线性相关，可得 $r(\overline{A})<n+1$ 且 $r(\overline{A})=r(A)+1.$

因为向量 $b\text{b}b$ 不能被向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表示，则向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b\text{α1,α2,…,αn,b}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ 的秩比向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 多 1 ，即 $r(\overline{A})=r(A)+1.$
O.O 这个还是可以直观理解的。向量组是一列一列的，加了一列不能被原来表示的列，肯定秩加了 1 嘛。

若方程组（II）有解，则向量 $b\text{b}b$ 能被向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n\text{α1,α2,…,αn}{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 线性表示，故 $r(\overline{A})=r(A)<n.$

如下图所示，讨论了所有情况下的秩的特征

总结一下可以得到如下一般性的结论：

• 非齐次方程组有解 $\iff$ $r(\overline{A})=r(A).$
• 非齐次方程组无解 $\iff$ $r(\overline{A})\ne r(A),$ 或 $r(\overline{A})=r(A)+1.$

有解其实还可以再做讨论，就放在后面方程组那一章再来细说吧。

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写在最后

看来还是自己疏忽了三秩相等的性质，才会产生开头那样的疑问。

现在也越来越认同，其实向量才是贯穿线性代数的重要工具。