第七章，相似矩阵及其应用，3-二次型、合同矩阵与合同变换

玩转线性代数(38)二次型概念、合同矩阵与合同变换的笔记，相关证明以及例子见原文

二次型相关概念

二次型

含有n个变量$x_1,x_2,...x_n$的二次齐次函数:
$$f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+...+a_{nn}{x}_n^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+...+2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n$$
称为二次型。

二次型的标准形和规范形

$$f=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+...+k_n{y}_n^2$$
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形。
如果二次型的标准形形如：
$$f=y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2$$
即系数只有-1,1,0三个取值，称为二次型的规范形。

表示形式

$$f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+...+a_{nn}{x}_n^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+...+2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n$$
取$a_{ij}=a_{ji}$（对称矩阵），则$2a_{ij}{x}_i{x}_j=a_{ij}{x}_i{x}_j+a_{ji}{x}_j{x}_i$，于是
$$f=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j=(x_1,x_2,...,x_n)\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=x^{T}Ax$$
把对称矩阵A叫做二次型f的矩阵，f叫做对称矩阵A的二次型，对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩

合同矩阵与合同变换

设有可逆线性变换x=Cy，将x=Cy代入$f=x^{T}Ax$，有
$$f==x^{T}Ax=(Cy{)}^{T}A(Cy)=y^T(C^{T}AC)y=y^{T}By$$
理解：线性变换后，将向量的坐标由x变换为了y，令原坐标系为$E=(e_1,e_2,...,e_n)$，变换之后，$EC=C$，过渡矩阵为C，则新基为$C=(c_1,c_2,...,c_n)$，向量在新基下的坐标为y,$y=C^{-1}x$是坐标变换公式

定义 合同

设A与B为n阶方阵，若有可逆矩阵C，使$B=C^{T}AC$，则称矩阵A与B合同
本质：是同一个二次型在不同基下的矩阵，对比相似矩阵，相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表示矩阵，合同矩阵首先都是对称的，又因$B=C^{T}AC$，C可逆，故合同矩阵又是等价的。

合同矩阵的性质

（1）自反性 任意方阵A与其自身合同：$E^{T}AE=A$
（2）对称性 若A与B合同，则B与A合同：若A与B合同，则存在可逆阵C使得$C^{T}AC=B$，则$A=(C^T{)}^{-1}B(C^{-1})=(C^{-1}{)}^{T}B(C^{-1})$，即B与A合同
（3）传递性 若A与B合同，B与C合同，则A与C合同：由$B=C_1^{T}A{C}_1,C=C_2^{T}B{C}_2$，得$C=C_2^T(C_1^{T}A{C}_1)C_2=(C_1{C}_2{)}^{T}A(C_1{C}_2)$，故A与C合同。

等价、相似、合同三种关系的对比

等价

A经过若干次初等行变换或初等列变换得到B，则A与B等价 $\iff$ 存在可逆阵P,A，使$PAQ=B$成立

相似

A与B相似$\iff$存在可逆阵P，使$P^{-1}AP=B$。(同一个线性变换在不同基下的表示矩阵)

合同

A与B合同$\iff$存在可逆阵P，使$P^{T}AP=B$。(同一个二次型在不同可逆线性变换下的矩阵)

通过以上三个定义可以看出，相似矩阵一定是等价矩阵，合同矩阵一定是等价矩阵．但等价矩阵不一定是相似矩阵，也不一定是合同矩阵．