【C++ 学习 ⑳】- 详解二叉搜索树

目录

一、概念

二、实现

2.1 - BST.h

2.2 - test.cpp

三、应用

四、性能分析

---

 

---

一、概念

二叉搜索树（BST，Binary Search Tree），又称二叉排序树或二叉查找树。

二叉搜索树是一棵二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：

• 非空左子树的所有键值小于其根节点的键值

• 非空右子树的所有键值大于其根节点的键值

• 左、右子树本身也都是二叉搜索树。

---

二、实现

2.1 - BST.h

#pragma once
​
#include <stack>
#include <iostream>
​
template<class K>
struct BSTNode
{BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;K _key;
​BSTNode(const K& key = K()): _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){ }
};
​
template<class K>
class BST
{typedef BSTNode<K> BSTNode;
​
public:/*---------- 构造函数和析构函数 ----------*/// 默认构造函数BST() : _root(nullptr){ }
​// 拷贝构造函数（实现深拷贝）BST(const BST<K>& t){_root = Copy(t._root);}
​// 析构函数~BST(){Destroy(_root);}
​/*---------- 赋值运算符重载 ----------*/// 利用上面写好的拷贝构造函数实现深拷贝BST<K>& operator=(BST<K> tmp){std::swap(_root, tmp._root);return *this;}
​/*---------- 插入 ----------*/// 非递归写法bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new BSTNode(key);return true;}
​BSTNode* parent = nullptr;BSTNode* cur = _root;while (cur){parent = cur;if (key < cur->_key)cur = cur->_left;else if (key > cur->_key)cur = cur->_right;elsereturn false;}
​cur = new BSTNode(key);if (key < parent->_key)parent->_left = cur;elseparent->_right = cur;return true;}
​// 递归（Recursion）写法bool InsertRecursion(const K& key){return _InsertRecursion(_root, key);}
​/*---------- 删除 ----------*/// 非递归写法bool Erase(const K& key){BSTNode* parent = nullptr;BSTNode* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else{if (cur->_left == nullptr)  // 左子树为空{if (parent == nullptr)  // 或者 cur == _root{_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}}else if (cur->_right == nullptr)  // 右子树为空{if (parent == nullptr)  // 或者 cur == _root{_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}}else  // 左、右子树非空{// 找到左子树中关键字最大的节点（或者找到右子树中关键字最小的节点）BSTNode* parentLeftMax = cur;BSTNode* leftMax = cur->_left;while (leftMax->_right){parentLeftMax = leftMax;leftMax = leftMax->_right;}// 让 leftMax 指向的节点代替 cur 指向的节点，然后删除 leftMax 指向的节点，// 这样就转换成了上面的情况std::swap(cur->_key, leftMax->_key);if (parentLeftMax->_left == leftMax)  // 或者 parentLeftMax == curparentLeftMax->_left = leftMax->_left;elseparentLeftMax->_right = leftMax->_left;cur = leftMax;}delete cur;return true;}}return false;}
​// 递归写法bool EraseRecursion(const K& key){return _EraseRecursion(_root, key);}
​/*---------- 查找 ----------*/// 非递归写法bool Search(const K& key) const{BSTNode* cur = _root;while (cur){if (key < cur->_key)cur = cur->_left;else if (key > cur->_key)cur = cur->_right;elsereturn true;}return false;}
​// 递归写法bool SearchRecursion(const K& key) const{return _SearchRecursion(_root, key);}
​/*---------- 中序遍历 ----------*/// 非递归写法void InOrder() const{std::stack<BSTNode*> st;BSTNode* cur = _root;while (cur || !st.empty()){while (cur){st.push(cur);cur = cur->_left;}BSTNode* top = st.top();st.pop();std::cout << top->_key << " ";cur = top->_right;}std::cout << std::endl;}
​// 递归写法void InOrderRecursion() const{_InOrderRecursion(_root);std::cout << std::endl;}
​
private:BSTNode* Copy(BSTNode* root){if (root == nullptr)return nullptr;
​BSTNode* copyRoot = new BSTNode(root->_key);copyRoot->_left = Copy(root->_left);copyRoot->_right = Copy(root->_right);return copyRoot;}
​void Destroy(BSTNode*& root){// 【注意：root 为 _root 或者某个节点的左或右指针的引用】if (root == nullptr)return;
​Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;root = nullptr;}
​bool _InsertRecursion(BSTNode*& root, const K& key){// 【注意：root 为 _root 或者某个节点的左或右指针的引用】if (root == nullptr){root = new BSTNode(key);return true;}
​if (key < root->_key)_InsertRecursion(root->_left, key);else if (key > root->_key)_InsertRecursion(root->_right, key);elsereturn false;}
​bool _EraseRecursion(BSTNode*& root, const K& key){// 【注意：root 为 _root 或者某个节点的左或右指针的引用】if (root == nullptr)return false;
​if (key < root->_key)_EraseRecursion(root->_left, key);else if (key > root->_key)_EraseRecursion(root->_right, key);else{BSTNode* tmp = root;if (root->_left == nullptr)root = root->_right;else if (root->_right == nullptr)root = root->_left;else{BSTNode* leftMax = root->_left;while (leftMax->_right){leftMax = leftMax->_right;}std::swap(leftMax->_key, root->_key);return _EraseRecursion(root->_left, key);}delete tmp;return true;}}
​bool _SearchRecursion(BSTNode* root, const K& key) const{if (root == nullptr)return false;
​if (key < root->_key)_SearchRecursion(root->_left, key);else if (key > root->_key)_SearchRecursion(root->_right, key);elsereturn true;}
​void _InOrderRecursion(BSTNode* root) const{if (root == nullptr)return;
​_InOrderRecursion(root->_left);std::cout << root->_key << " ";_InOrderRecursion(root->_right);}
​
private:BSTNode* _root;
};

2.2 - test.cpp

#include "BST.h"
using namespace std;
​
void TestBST1()
{int arr[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };BST<int> t1;for (auto e : arr){t1.Insert(e);}t1.InOrder();  // 1 3 4 6 7 8 10 13 14
​BST<int> t2(t1);t2.InOrder();  // 1 3 4 6 7 8 10 13 14
​BST<int> t3;t3 = t1;t1.InOrder();  // 1 3 4 6 7 8 10 13 14
​// 左子树为空t1.Erase(4);t1.InOrder();  // 1 3 6 7 8 10 13 14t1.Erase(6);t1.InOrder();  // 1 3 7 8 10 13 14// 右子树为空t1.Erase(14);t1.InOrder();  // 1 3 7 8 10 13// 左、右子树非空t1.Erase(8);t1.InOrder();  // 1 3 7 10 13
​cout << t1.Search(8) << endl;  // 0cout << t1.Search(7) << endl;  // 1
}
​
void TestBST2()
{int arr[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };BST<int> t;for (auto e : arr){t.InsertRecursion(e);}t.InOrderRecursion();  // 1 3 4 6 7 8 10 13 14
​// 左子树为空t.EraseRecursion(4);t.InOrderRecursion();  // 1 3 6 7 8 10 13 14t.EraseRecursion(6);t.InOrderRecursion();  // 1 3 7 8 10 13 14// 右子树为空t.EraseRecursion(14);t.InOrderRecursion();  // 1 3 7 8 10 13// 左、右子树非空t.EraseRecursion(8);t.InOrderRecursion();  // 1 3 7 10 13
​cout << t.SearchRecursion(8) << endl;  // 0cout << t.SearchRecursion(7) << endl;  // 1
}
​
int main()
{TestBST1();TestBST2();return 0;
}

 

---

三、应用

1. K 模型：结构体中只需要存储关键码 key，关键码即为需要搜索到的值。

   例如，要判断一个单词是否拼写正确，我们首先把词库中的每个单词作为 key，构建一棵二叉搜索树，然后在这棵二叉搜索树中检索单词是否存在，若存在则表明拼写正确，不存在则表明拼写错误。

2. KV 模型：每个关键码 key，都有与之对应的值 value，即 <key, value> 的键值对。

   这种模型在现实生活中也很常见：

   • 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文 <word, Chinese> 就构成一种键值对。

   • 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可以快速找到其出现的次数，单词与其出现的次数 <word, count> 就构成一种键值对。

   BST.h：

   #pragma once
   ​
   #include <iostream>
   ​
   template<class K, class V>
   struct BSTNode
   {BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;K _key;V _value;
   ​BSTNode(const K& key = K(), const V& value = V()): _left(nullptr), _right(nullptr), _key(key), _value(value){ }
   };
   ​
   template<class K, class V>
   class BST
   {typedef BSTNode<K, V> BSTNode;
   ​
   public:BST() : _root(nullptr){ }
   ​BST(const BST<K, V>& t){_root = Copy(t._root);}
   ​~BST(){Destroy(_root);}
   ​BST<K, V>& operator=(BST<K, V> tmp){std::swap(_root, tmp._root);return *this;}
   ​bool Insert(const K& key, const V& value){return _Insert(_root, key, value);}
   ​bool Erase(const K& key){return _Erase(_root, key);}
   ​BSTNode* Search(const K& key) const{return _Search(_root, key);}
   ​void InOrder() const{_InOrder(_root);std::cout << std::endl;}
   ​
   private:BSTNode* Copy(BSTNode* root){if (root == nullptr)return nullptr;
   ​BSTNode* copyRoot = new BSTNode(root->_key, root->_value);copyRoot->_left = Copy(root->_left);copyRoot->_right = Copy(root->_right);return copyRoot;}
   ​void Destroy(BSTNode*& root){// 【注意：root 为 _root 或者某个节点的左或右指针的引用】if (root == nullptr)return;
   ​Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;root = nullptr;}
   ​bool _Insert(BSTNode*& root, const K& key, const V& value){// 【注意：root 为 _root 或者某个节点的左或右指针的引用】if (root == nullptr){root = new BSTNode(key, value);return true;}
   ​if (key < root->_key)_Insert(root->_left, key, value);else if (key > root->_key)_Insert(root->_right, key, value);elsereturn false;}
   ​bool _Erase(BSTNode*& root, const K& key){// 【注意：root 为 _root 或者某个节点的左或右指针的引用】if (root == nullptr)return false;
   ​if (key < root->_key)_Erase(root->_left, key);else if (key > root->_key)_Erase(root->_right, key);else{BSTNode* tmp = root;if (root->_left == nullptr)root = root->_right;else if (root->_right == nullptr)root = root->_left;else{BSTNode* leftMax = root->_left;while (leftMax->_right){leftMax = leftMax->_right;}std::swap(leftMax->_key, root->_key);return _Erase(root->_left, key);}delete tmp;return true;}}
   ​BSTNode* _Search(BSTNode* root, const K& key) const{if (root == nullptr)return nullptr;
   ​if (key < root->_key)_Search(root->_left, key);else if (key > root->_key)_Search(root->_right, key);elsereturn root;}
   ​void _InOrder(BSTNode* root) const{if (root == nullptr)return;
   ​_InOrder(root->_left);std::cout << root->_key << " : " << root->_value << std::endl;_InOrder(root->_right);}
   private:BSTNode* _root;
   };

   test.cpp：

   #include "BST_KV.h"
   using namespace std;
   ​
   void TestBST1()
   {BST<string, string> t;t.Insert("insert", "插入");t.Insert("erase", "删除");t.Insert("search", "查找");t.Insert("left", "左边");t.Insert("right", "右边");// 输入英文单词，找到对应的中文string str;while (cin >> str){BSTNode<string, string>* ret = t.Search(str);if (ret)cout << str << "对应的中文是：" << ret->_value << endl;elsecout << "单词拼写错误，词库中没有此单词！" << endl;}
   }
   ​
   void TestBST2()
   {string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };BST<string, int> t;// 统计每种水果出现的次数for (const auto& str : arr){BSTNode<string, int>* ret = t.Search(str);if (ret == nullptr)t.Insert(str, 1);elseret->_value += 1;}t.InOrder();// 苹果 : 6// 西瓜: 3// 香蕉 : 2
   }
   ​
   int main()
   {// TestBST1();TestBST2();return 0;
   }

---

四、性能分析

在二叉搜索树的插入和删除操作中，都必须先进行查找操作，所以查找的效率就代表了各个操作的性能。

对含 n 个节点的二叉搜索树，若每个节点查找的概率相等，则二叉搜树的平均查找长度是节点在二叉搜树树的深度的函数，即节点越深，比较次数越多。

但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树，例如：

最好情况下，二叉搜索树为完全二叉树（或者接近完全二叉树），其平均比较次数为 ​。

最坏情况下，二叉搜索树退化为单支树（或者类似单支树），其平均比较次数为 。

如果退化成单支树，二叉搜树的性能就丢失了，那么能否改进，不论按照什么次序插入关键码，二叉搜索树的性能都能达到最优？

后续所要学习的 AVL 树和红黑树就可以解决上述问题。